Конструктивная математика

Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах^{[прояснить]}, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.

Абстракции конструктивной математики

Абстрактность конструктивной математики проявляется в систематическом применении двух основных отвлечений: абстракции отождествления и абстракции потенциальной осуществимости.

Абстракция отождествления состоит в предположении о возможности однозначного и не вызывающего сомнений решения вопроса о (графическом) равенстве или различии любых двух рассматриваемых нами конструктивных объектов, а также о возможности полного отвлечения от мелких различий, имеющихся между графически равными объектами. Случаи, когда указанные предположения не выполняются, заранее исключаются из рассмотрения. Так, при рассмотрении слов в кириллическом алфавите мы исключаем из рассмотрения случаи, когда не можем прочитать слово (вследствие неразборчивости почерка или, например, вследствие повреждения запоминающего устройства ЭВМ, в которое слово было занесено).

Абстракция потенциальной осуществимости состоит в отвлечении от границ наших конструктивных возможностей в пространстве, времени и материале. Случаи, когда находящихся в нашем распоряжении средств недостаточно для осуществления требующихся построений, заранее исключаются из рассмотрения.

Основные объекты рассмотрения

Представления о конструктивном процессе и конструктивном объекте не имеют общего определения. Различные теории конструктивной математики могут иметь дело с конструктивными объектами самых разнообразных конкретных видов (целочисленными матрицами, многочленами с рациональными коэффициентами, и т. д.). Однако может быть указано несколько типов конструктивных объектов, способных моделировать любые другие известные конструктивные объекты (и, тем самым, способных считаться в некотором смысле конструктивными объектами общего вида). Таковы, в частности, слова в различных алфавитах.

Особенности логики конструктивной математики

Характерной чертой конструктивных объектов является то обстоятельство, что они не существуют извечно. Они рождаются в результате развёртывания некоторых конструктивных процессов, а затем исчезают (в силу самых различных естественных причин). Алгебраическое выражение, написанное мелом на доске, находилось на этой доске не всегда — и просуществует на ней ровно до того момента, пока его не сотрут. Таблица, сохранённая на жёстком диске персональной ЭВМ, также заведомо не существовала до момента изготовления этого диска — и также рано или поздно будет уничтожена (или в результате переформатирования, или в результате выхода диска из строя).

В связи со сказанным, в конструктивной математике под «существованием» конструктивного объекта понимается его потенциальная осуществимость — то есть наличие в нашем распоряжении метода, позволяющего воспроизводить этот объект любое потребное число раз. Такое понимание резко расходится с пониманием существования объекта, принятым в теоретико-множественной математике. В теории множеств факт постоянного рождения и исчезновения конструктивных объектов не находит никакого выражения: с её точки зрения, подвижные реальные объекты являются лишь «тенями» вечно существующих в некотором фантастическом мире статичных «идеальных объектов» (и только эти «идеальные объекты» и следует якобы рассматривать в математике).

Понимание существования объекта как потенциальной осуществимости приводит к тому, что логические законы, действующие в конструктивной математике, оказываются отличными от классических. В частности, теряет универсальную применимость закон исключённого третьего. Действительно, формула $(A\lor (\neg A))$ при конструктивном понимании выражает суждение

«среди формул $A$ и $(\neg A)$ потенциально осуществима верная»,

однако классический вывод дизъюнкции $(A\lor (\neg A))$ не даёт никакого способа построить её верный член. Аналогичным образом, логическое опровержение предположения, что любой конструктивный объект рассматриваемого вида обладает некоторым свойством $T$ — считающееся в теоретико-множественной математике достаточным основанием признать «существующим» объект со свойством $(\neg T)$, — не может само по себе служить поводом для признания объекта со свойством $(\neg T)$ потенциально осуществимым. Следует заметить, однако, что за такого рода логическими опровержениями всё же признаётся определённая эвристическая ценность (так как они, хотя и не дают никакого способа построения искомого объекта, всё же указывают на осмысленность попыток такого построения). Конструктивные объекты, для которых удалось в рамках классической логики доказать их «существование», принято называть квазиосуществимыми.

Различие между понятиями потенциально осуществимого и квазиосуществимого конструктивного объекта становится особенно существенным при рассмотрении общих утверждений о существовании. Действительно, суждение

«для любого конструктивного объекта $X$ рассматриваемого вида потенциально осуществим конструктивный объект $Y$, находящийся в отношении $T$ к объекту $X$»

означает наличие в нашем распоряжении единого общего метода (алгоритма) переработки объекта $X$ в отвечающий ему объект $Y$. Поэтому такое суждение может быть заведомо неверным даже в случае верности суждения

«для любого конструктивного объекта $X$ рассматриваемого вида квазиосуществим конструктивный объект $Y$, находящийся в отношении $T$ к объекту $X$».

Некоторые конкретные теории конструктивной математики

Конкретные математические теории, развиваемые в рамках представлений конструктивной математики, обладают рядом существенных отличий от соответствующих теоретико-множественных теорий.

Например, основное понятие математического анализа — понятие вещественного числа — вводится в традиционном варианте теории на базе общего представления о множестве. Для конструктивной математики, требующей, чтобы рассмотрение ограничивалось конструктивными объектами, такой способ определения понятия вещественного числа неприемлем. В ней под вещественными числами обычно понимают записи алгоритмов ${\mathfrak {A}}$, перерабатывающих любое натуральное число в некоторое рациональное число, и удовлетворяющих условию

$\forall n\in \mathbb {N} \,|{\mathfrak {A}}(n)-{\mathfrak {A}}(n+1)|\leq 2^{-n-1}.$

Такие записи представляют собой конструктивные объекты и допускаются к рассмотрению в конструктивной математике. Как обычно, два вещественных числа ${\mathfrak {A}}$ и ${\mathfrak {B}}$ считаются равными, если выполняется условие

$\forall n\in \mathbb {N} \,|{\mathfrak {A}}(n)-{\mathfrak {B}}(n)|\leq 2^{-n+1}.$

Следует отметить, что проблема распознавания равенства двух произвольных вещественных чисел является алгоритмически неразрешимой, а потому при конструктивном понимании математических суждений утверждение

«любые два вещественных числа или равны, или не равны»

оказывается ложным. Соответственно, теоретико-множественное представление об атомарности континуума (его составленности из чётко отделённых друг от друга точек) не переносится в конструктивную математику.

Многие утверждения теоретико-множественного анализа в конструктивном анализе опровергаются на примерах. Таковы, в частности, теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности и лемма Гейне-Бореля о выборе покрытия. Ряд других утверждений теоретико-множественного анализа могут быть перенесены в конструктивную математику лишь при условии понимания «существования» искомого объекта как квазиосуществимости (а не потенциальной осуществимости). Таковы теорема о представлении вещественных чисел систематическими дробями и теорема о нуле знакопеременной непрерывной функции.

С другой стороны, в конструктивном анализе доказывается ряд утверждений, не имеющих теоретико-множественных аналогов. Одним из наиболее ярких примеров здесь является теорема Г. С. Цейтина о непрерывности любого отображения из сепарабельного метрического пространства в метрическое пространство. Из этой теоремы следует, в частности, что любое отображение метрических пространств является непрерывным по Гейне. Следует заметить, что известны примеры отображений из несепарабельных пространств, которые не являются непрерывными по Коши. Таким образом, в конструктивной математике может быть опровергнуто на примерах утверждение об эквивалентности непрерывности отображения по Коши и по Гейне, доказываемое в классическом анализе на основе привлечения сильных теоретико-множественных средств (в частности, аксиомы выбора).

Литература

• А. А. Марков. Избранные труды. Т. II. Теория алгорифмов и конструктивная математика, математическая логика, информатика и смежные вопросы. — М.: Изд-во МЦНМО, 2003.

• А. А. Марков, Н. М. Нагорный. Теория алгорифмов, изд. 2. — М.: ФАЗИС, 1996.

• Н.М.Нагорный, Абстракция актуальной бесконечности, Абстракция отождествления, Абстракция потенциальной осуществимости, Математическая энциклопедия, М.: "Советская энциклопедия", 1977, т.1, с. 43, 44.

• Б. А. Кушнер. Лекции по конструктивному математическому анализу. — М.: Наука, 1973.

• Б.А.Кушнер, Конструктивная математика, Математическая энциклопедия, М.: "Советская энциклопедия", 1979, т.2, с. 1042.

• Н.И.Кондаков, Логический словарь-справочник, М.: "Наука", 1975, с. 259.

• Г.И.Рузавин, О природе математического знания, М., 1968.

• О.Е.Акимов, Дискретная математика: логика, группы, графы, Изд. 2, М.: "Лаборатория Базовых Знаний", 2003. (Вся книга и особо глава "Конструктивизм", с. 317)

См. также

• Конструктивная математика (в статье Математика)
• Интуиционизм
• Иммунное множество
• Теория вычислимости