Полярное разложение

Полярное разложение — представление квадратной матрицы $A$ в виде произведения эрмитовой $S$ и унитарной $U$ матриц $A=SU$. Является аналогом разложения любого комплексного числа в виде $z={\mathcal {j}}z{\mathcal {j}}e^{i\varphi }$.

Свойства

• Любую квадратную матрицу $A$ над $\mathbb {R}$ (над $\mathbb {C}$) можно представить в виде $A=SU$, где $S$ - симметрическая (эрмитова) неотрицательно определенная матрица, $U$ - ортогональная (унитарная) матрица. Если матрица $A$ невырождена, то такое представление единственно.
• Любую матрицу $A$ можно представить в виде $A=UDW$, где $U$ и $W$ - унитарные матрицы, $D$ - диагональная матрица.
• Если $A=S_{1}U_{1}=S_{2}U_{2}$ - полярные разложения невырожденной матрицы $A$, то $U_{1}=U_{2}$.

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.