Ортогональная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ортогональная матрицаквадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на AT равен единичной матрице:[1]

AA^{T} = A^{T}A = E,

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

\! A^{-1} = A^{T}.

Свойства[править | править вики-текст]

\! \sum_{i} A_{ij} A_{ik}=\delta_{jk}
и
\! \sum_{i} A_{ji} A_{ki}=\delta_{jk}
где  i\in \{1,\;\ldots,\;n\}, n — порядок матрицы, а \delta_{jk}символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

 (\pm 1) и \begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.

Примеры[править | править вики-текст]

  • 
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
  •  \begin{pmatrix}
\cos (\alpha)\cos (\gamma)-\sin (\alpha)\sin (\beta)\sin (\gamma) & -\sin (\alpha)\cos (\beta) & -\cos (\alpha)\sin (\gamma)-\sin (\alpha)\sin (\beta)\cos (\gamma) \\ 
\cos (\alpha)\sin (\beta)\sin (\gamma)+\sin (\alpha)\cos (\gamma) & \cos (\alpha)\cos (\beta)  & \cos (\alpha)\sin (\beta )\cos (\gamma )-\sin (\alpha )\sin (\gamma) \\ 
\cos (\beta)\sin (\gamma) & -\sin (\beta)  & \cos (\beta)\cos (\gamma)
\end{pmatrix}

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра. 4-е изд. М: Наука, 1999. Стр. 158. ISBN 5-02-015235-8.