Диагональная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Определение[править | править вики-текст]

Квадратная матрица D=(d_{ij}), где d_{ij}=0 для всяких i\neq j, называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица имеет вид:

D=\begin{bmatrix} 
d_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & d_{22} & \cdots & 0\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 &\cdots & d_{nn}
\end{bmatrix},

Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной.

Обозначение[править | править вики-текст]

Диагональная матрица D c элементами (d_{1},d_{2},\dots,d_{n}), стоящими на главной диагонали обозначается следующим образом:

D=\mathrm{diag}\,\{d_{1},d_{2},\dots,d_{n}\}.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Диагональная матрица является симметричной:
D^{T}=D.
  • Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.
  • Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:
\mathrm{det}\,D=d_{11}d_{22}\dots d_{nn}.

D_{ij}=\begin{cases}0,&i\ne j;\\ \prod\limits_{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j.\end{cases}

D^{-1}=\begin{bmatrix} 
d_{11}^{-1} & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & d_{22}^{-1} & \cdots & 0\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 &\cdots & d_{nn}^{-1}
\end{bmatrix},

Примеры[править | править вики-текст]

Нулевая матрица

~0=\mathrm{diag}\,\{0,0,\dots,0\}=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & 0 & \cdots & 0\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 &\cdots & 0
\end{bmatrix},

и единичная матрица

E=\mathrm{diag}\,\{1,1,\dots,1\}=\begin{bmatrix} 
1 & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & 1 & \cdots & 0\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 &\cdots & 1
\end{bmatrix},

доставляют простейшие примеры диагональных матриц.

Приведение к диагональной форме[править | править вики-текст]

Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса. Достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы. В общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]