Алгебраическое дополнение

Нахождение дополнительного минора и алгебраического дополнения

Алгебраическим дополнением элемента $\ a_{ij}$ матрицы $\ A$ называется число

$\ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$,

где $\ M_{ij}$ — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы $\ A$ путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Свойства

Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу):

$\ det A=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$

Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что

$\ \sum_{j=1}^n a_{i_1 j}A_{i_2 j}=\sum_{i=1}^n a_{i j_1}A_{i j_2}=0$ при $i_1\neq i_2$ и $j_1\neq j_2$.

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

• заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
• транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,
• разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

См. также

• Минор
• Дополнительный минор
• Определитель