Определитель

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 6 марта 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 38 правок.

Перейти к: навигация, поиск

У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения).

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А|, ||A|| или Δ(A).

Содержание

1 Определение через разложение по первой строке
2 Определение через перестановки
3 Свойства определителей
4 Специальные виды определителей
5 См. также
6 Литература
7 Ссылки

[править] Определение через разложение по первой строке

Схема расчета определителя матрицы $2 \times 2$ .

Для матрицы порядка 1 детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}$

Для матрицы $2 \times 2$ детерминант определяется как

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Для матрицы $n \times n$ определитель задаётся рекурсивно:

$\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1$ , где $\bar M_j^1$ — дополнительный минор к элементу

a 1 j

. Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы $3 \times 3$ такова:

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} =$

= a 11 a 22 a 33 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

$\Delta=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i$

Доказательство

Пусть $\tilde{\Delta}= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i$ .

Докажем, что $\tilde{\Delta}=\Delta$ по индукции. Видно, что для матрицы $2 \times 2$ это верно:

$\tilde{\Delta_2}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta_2$

Предполжим, что для матрицы порядка n−1 $\tilde\Delta_{n-1}=\Delta_{n-1}$ — верно.

$\tilde{\Delta_n}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{i=2}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{i=2}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\sum_{j=2}^n(-1)^j a_{1j}\bar M_{1j}^{i1}=$

$=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^n (-1)^{i+j+1} a_{i1}a_{1j}\bar M_{1j}^{i1}$

${\Delta_n}=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{j=2}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{j=2}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\sum_{i=2}^n(-1)^i a_{i1}\bar M_{j1}^{1i}=$

$=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{j=2}^n\sum_{i=2}^n (-1)^{i+j+1} a_{1j}a_{i1}\bar M_{j1}^{1i}=\tilde{\Delta_n}$ ■

Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):

$\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i$

Доказательство

Пусть $\tilde{\Delta}= \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i$ .

Докажем, что $\tilde{\Delta}=\Delta$ по индукции. Видно, что для матрицы $2 \times 2$ это верно:

$\tilde{\Delta_2}=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta_2$

Предположим, что для матрицы порядка n−1 $\tilde\Delta_{n-1}=\Delta_{n-1}$ — верно.

$\tilde{\Delta_n}=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\left(\sum_{k<j}(-1)^{1+k}a_{1k}\bar M_{jk}^{i1}+\sum_{k>j}(-1)^k a_{1k}\bar M_{jk}^{i1}\right)$

Соберём коэффициенты при $\bar M_{j_0k_0}^{i\,\,1}$ :

$j_0>k_0\colon\; (-1)^{i+j_0}a_{ij_0}(-1)^{1+k_0}a_{1k_0}+(-1)^{i+k_0}a_{ik_0}(-1)^{j_0}a_{1j_0}=(-1)^{i+j_0+k_0+1}(a_{ij_0}a_{1k_0}-a_{ik_0}a_{1j_0})=$

$=(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i}$

$j_0<k_0\colon\; (-1)^{i+j_0}a_{ij_0}(-1)^{k_0}a_{1k_0}+(-1)^{i+k_0}a_{ik_0}(-1)^{j_0+1}a_{1j_0}=(-1)^{i+j_0+k_0+1}(a_{ik_0}a_{1j_0}-a_{ij_0}a_{1k_0})=$

$=(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i}$

$\tilde{\Delta_n}=\sum_{j\ne k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}\bar M_{jk}^{1i}$

$\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\left(\sum_{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}\bar M_{jk}^{1i}+\sum_{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}\bar M_{jk}^{1i}\right)$

Соберём коэффициенты при $\bar M_{j_0k_0}^{i\,\,1}$ :

$j_0>k_0\colon\; (-1)^{1+j_0}a_{1j_0}(-1)^{i+k_0-1}a_{ik_0}+(-1)^{1+k_0}a_{1k_0}(-1)^{i+j_0-2}a_{ij_0} =(-1)^{j_0+i+k_0}(a_{1j_0}a_{ik_0}-a_{1k_0}a_{ij_0})=$

$=(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i}$

$j_0<k_0\colon\; (-1)^{1+j_0}a_{1j_0}(-1)^{i+k_0-2}a_{ik_0}+(-1)^{1+k_0}a_{1k_0}(-1)^{i+j_0-1}a_{ij_0}= (-1)^{k_0+i+j_0}(a_{1k_0}a_{ij_0}-a_{1j_0}a_{ik_0})=$

$=(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i}$

${\Delta_n}=\sum_{j\ne k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}\bar M_{jk}^{1i}=\tilde{\Delta_n}$ ■

Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

$\Delta=\sum_{1\leqslant j_1<\ldots<j_k\leqslant n} (-1)^{i_1+...+i_k+j_1+...+j_k} M_{j_1...j_k}^{i_1...i_k} \bar M_{j_1...j_k}^{i_1...i_k}$

[править] Определение через перестановки

Для матрицы $n \times n$ справедлива форумула:

$\Delta=\sum_{\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, ...\alpha_n)} \cdot a_{\alpha_11} \cdot ... \cdot a_{\alpha_nn}$ ,

где $α 1,α 2,...α n$ — перестановка порядка $n$ , $N (α 1,α 2 ...α n)$ — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка $n$ . Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют "членами определителя". Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

[править] Свойства определителей

Детерминант — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): $\Delta (\hat A_1, \ldots, \alpha\hat A_i+\beta\hat {A'}_i, \ldots, \hat A_n) = \alpha\Delta (\hat A_1, \ldots, \hat A_i, \ldots, \hat A_n)+ \beta\Delta (\hat A_1, \ldots, \hat {A'}_i, \ldots, A_n)$ , где $\hat A_1$ и т. д. — строчки матрицы, $\Delta (A_1, \ldots, A_i, \ldots, A_n)$ — определитель такой матрицы.
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.

Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

[править] Специальные виды определителей

[править] См. также

[править] Литература

В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.

[править] Ссылки

Расчет определителя матрицы онлайн

Определитель

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определение через разложение по первой строке

[править] Определение через перестановки

[править] Свойства определителей

[править] Специальные виды определителей

[править] См. также

[править] Литература

[править] Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках