Транспонированная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Транспонированная матрица — матрица A^T, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m \times n — матрица A^T размеров n \times m, определённая как A^T_{ij} = A_{ji}.

Например,

\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}
     и      
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц[править | править вики-текст]

  • ~(A^T)^T= A
Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
  • ~(A + B)^T = A^T + B^T
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
  • ~(AB)^T = B^TA^T
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
  • ~(\lambda A)^T=\lambda A^T
При транспонировании можно выносить скаляр.
  • ~\det A = \det A^T
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению A^T=A. Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • Матрица А была квадратной;
  • Элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны то есть A_{ij}=A_{ji}.

Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению A^T=-A. Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица А была квадратной,
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,

Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы равняются нулю.

См. также[править | править вики-текст]