Транспонированная матрица

Транспонированная матрица — матрица $A^T$, полученная из исходной матрицы $A$ заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы $A$ размеров $m \times n$ — матрица $A^T$ размеров $n \times m$, определённая как A^T[i, j] = A[j, i].

Например,

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$      и      $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;$

Свойства транспонированных матриц

• $~(A^T)^T= A$

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

• $~(A + B)^T = A^T + B^T$

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

• $~(AB)^T = B^TA^T$

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

• $~(\lambda A)^T=\lambda A^T$

При транспонировании можно выносить скаляр.

• $~\det A = \det A^T$

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметрическая матрица - матрица, удовлетворяющая соотношению $A^T=A$. Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица А была квадратной,
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны.

Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица - матрица, удовлетворяющая соотношению $A^T=-A$. Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица А была квадратной,
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,

Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы (могут) равняются нулю.

См. также

• Сопряжённо-транспонированная матрица