Гипотеза Бреннана

Гипотеза Бреннана является математической гипотезой (в комплексном анализе) для оценки (при определённых условиях) интеграла степени модуля производной конформных отображений в открытый единичный диск. Гипотезу сформулировал Джеймс Бреннан в 1978 году.

Пусть W — односвязное открытое подмножество $\mathbb {C}$ как минимум с двумя граничными точками на полной плоскости комплексного пространства. Пусть $\varphi$ — конформное отображение W в открытый единичный диск. Гипотеза Бреннана утверждает, что

$\int _{W}|\varphi \ '|^{p}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y<\infty$ при $4/3<p<4$.

Бреннан доказал результат при $4/3<p<p_{0}$ для некоторой константы $p_{0}>3$. Бертилсон доказал в 1999 году, что гипотеза верна при $4/3<p<3,422$, но гипотеза в целом остаётся открытой.