Конформное отображение

Взаимно однозначное отображение области D на область D^* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения

• Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
• Две метрики $g,\tilde g$ на гладком многообразии $M$ называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция $\psi:M\to\R$ такая что $\tilde g=e^\psi g$. В этом случае тождественное отображение на $M$ индуцирует конформное отображение $(M,g)\to(M,\tilde g)$.

Свойства

Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.

• Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
• Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
  • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
• Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства $\R^n$ при $n\ge 3$ можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.
• Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если $\tilde g$ и $g$ — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
      $\tilde W(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$
  где $\tilde W$ и $W$ обозначают тензоры Вейля для $\tilde g$ и $g$ соответственно.
• Для конформно-эквивалентых метрик $\tilde g=e^{2\psi} g$
  • Связности связаны следующей формулой:
       $\tilde\nabla_XY=\nabla_XY+(X\psi)Y+(Y\psi)X-g(X,Y)\nabla\psi)$
  • Кривизны связаны следующей формулой:
        $g(\tilde R(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$
        $-Hess_\psi (X,X)-Hess_\psi(Y,Y)-|\nabla\psi|^2+(Y\psi)^2$
    если $g(X,X)=g(Y,Y)=1, g(X,Y)=0, X\psi=0$ а $Hess_\psi$ обозначает Гессиан функции $\psi$.
  • Формулу для секционных кривизн можно записать в следующем виде:
        $\tilde K_{X,Y}= f^2K_{X,Y} -f{\cdot}[Hess_f (X,X)+Hess_f(Y,Y)]-|\nabla f|^2,$
    где $f=e^{-\psi}$.
  • При вычислении скалярной кривизны $n$-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде $\tilde g=u^{\tfrac4{n-2}} g$. В этом случае:

    $\tilde{Sc}=\left({Sc}-\frac{4(n-1)}{n-2}\Delta u\right)/u^{\frac{n+2}{n-2}}$

Примеры

Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

• Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
• Инверсия — конформное отображение второго рода;
• Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
• Стереографическая проекция.

История

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

Применение

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература

• Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
• Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
• Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. Перевод с английского М. Келдыша
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Лаврентьев М.А. Конформные отображения, М.-Л., Гостехиздат, 1946, 160 c.
• А.И. Янушаускас Трёхмерные аналоги конформных отображений, Новосибирск, Наука, 1982, 173 с., тир. 2650 экз.

См. также

• Условия Коши — Римана
• Теорема Римана об отображении
• Теорема Шварца — Кристоффеля
• Диффеоморфизм

Ссылки

• Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.