Дифферинтеграл Вейля

В математике дифферинтеграл Вейля - это оператор, определённый на интегрируемых функциях f единичного круга ($2\pi$ — периодичных) с нулевым средним (т. е. интеграл от f по периоду равен 0). Другими словами функция f может быть разложена в ряд Фурье:

$f(\varphi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }$

где $a_{0}=0$, или:

$f(\varphi )=\sum '_{n}a_{n}e^{in\varphi }$,

где символ $\sum '_{n}$ обозначает суммирование по всем натуральным $n$ кроме 0.

Интеграл Вейля порядка $\alpha >0$ определяется на разложении в ряд Фурье как:

$f^{\alpha }(\varphi )=\sum '_{n}{\frac {a_{n}e^{in\varphi }}{(in)^{\alpha }}}$,

а производная Вейля порядка $\beta >0$ определяется как:

$f_{\beta }(\varphi )={\frac {\partial ^{n}}{\partial \varphi ^{n}}}f_{n-\beta }(\varphi )$.

Таким образом, дифферинтеграл Вейля определён полностью.

Условие $a_{0}=0$ необходимо в этих определениях, так как в противном случае возникало бы деление на 0.

Данное определение было введено Германом Вейлем в 1917 году.

См. также

• Пространство Соболева

Ссылки

• Lizorkin, P.I. (2001), "Fractional integration and differentiation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104