Ряд Фурье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции

Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом \tau в виде ряда

 f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos\left(2\pi \frac{k}{\tau}x+\theta_k\right)

Этот ряд может быть также записан в виде

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{i2\pi \frac{k}{\tau}x},

где

A_k — амплитуда k-го гармонического колебания,
2\pi \frac{k}{\tau} = k\omega — круговая частота гармонического колебания,
\theta_k — начальная фаза k-го колебания,
\hat{f}_k — k-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Тригонометрический ряд Фурье[править | править вики-текст]

Тригонометрическим рядом Фурье функции f\in L_2([-\pi,\pi]) называют функциональный ряд вида

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
(1)

где

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,
a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,
b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,

Числа a_0, a_n и b_n (n = 1, 2, \ldots) называются коэффициентами Фурье функции f. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию f\in L_2([0,2\pi]) в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты a_0, a_n и b_n. Если умножить правую часть (1) на \cos(kx) и проинтегрировать по промежутку [-\pi,\pi], благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент a_k. Аналогично для b_k

Ряд (1) сходится к функции f в пространстве L_2([-\pi,\pi]). Иными словами, если обозначить через S_k(x) частичные суммы ряда (1):

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),

то их среднеквадратичное отклонение от функции f будет стремиться к нулю:

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) комплекснозначных функций со скалярным произведением

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx.

Мы также рассматриваем систему функций

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) может быть разложена по ним в ряд Фурье:

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx},

где ряд в правой части сходится к f по норме в f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}). Здесь

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx.

Коэффициенты : \hat{f}_k связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0
\hat{f}_0 = a_0/2
\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0
a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0
b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0
  • Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения \hat{f}_k и \hat{f}_{-k} не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Обобщения[править | править вики-текст]

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве[править | править вики-текст]

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства L^2[-\pi,\pi] с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\} в гильбертовом пространстве R и f — произвольный элемент из R. Предположим, мы хотим представить f в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов \{\varphi_k\}:

f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n

Домножим это выражение на \varphi_k. С учётом ортогональности системы функций \{\varphi_k\} все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при n=k:

   (f, \varphi_k) = c_k||\varphi_k||^2

Последовательность чисел

c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{||\varphi_k||^2}

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента f по системе \{\varphi_k\}, а ряд

\sum_k c_k \varphi_k

называется рядом Фурье элемента f по ортогональной системе \{\varphi_k\}.

Ряд Фурье любого элемента f по любой ортогональной системе сходится в пространстве R, но его сумма не обязательно равна f. Для ортонормированной системы {\varphi_k} в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

  • система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
  • система является полной, то есть в R не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ... одновременно.
  • система является замкнутой, то есть для любого f\in R выполнено равенство Парсеваля
\sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2.
  • линейные комбинации элементов \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ... плотны в пространстве R.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента f равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, .... В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2

Двойственность Понтрягина[править | править вики-текст]

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье[править | править вики-текст]

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье[править | править вики-текст]

Обозначим через S_N(f,x) частичные суммы ряда Фурье функции f(x):

S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций S_N(f,x) к функции f(x) в различных смыслах. Функция f предполагается 2\pi-периодической (если она задана только на промежутке [-\pi,\pi], её можно периодически продолжить).

  • Если f\in L_2([-\pi,\pi]), то последовательность S_N(f,x) сходится к функции f(x) в смысле L_2. Кроме того, S_N(f,x) являются наилучшим (в смысле расстояния в L_2) приближением функции f тригонометрическим многочленом степени не выше N.
  • Сходимость ряда Фурье в заданной точке x_0 — локальное свойство, то есть, если функции f и g совпадают в некоторой окрестности x_0, то последовательности S_N(f,x_0) и S_N(g,x_0) либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают.
  • Если функция f дифференцируема в точке x_0, то её ряд Фурье в этой точке сходится к f(x_0). Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции f задаются признаком Дини.
  • Функция, непрерывная в точке x_0, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к f(x_0). Это следует из того, что для непрерывной в x_0 функции f последовательность S_N(f,x_0) сходится по Чезаро к f(x_0).
  • Если функция f разрывна в точке x_0, но имеет пределы в этой точке справа и слева f(x_0+0)\neq f(x_0-0), то при некоторых дополнительных условиях S_N(f,x_0) сходятся к (f(x_0+0)+f(x_0-0))/2. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
  • Теорема Карлесона: если f\in L_2([-\pi,\pi]), то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1. Однако, существуют функции из L_1([-\pi,\pi]), ряд Фурье которых расходится во всех точках (теорема Колмогорова).
  • Зафиксируем точку x_0\in(-\pi,\pi). Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве C([-\pi,\pi]). В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции[править | править вики-текст]

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса C^{(k)}, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

[источник не указан 1695 дней]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
  • Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.