Квазиклассическое приближение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (ВентцеляКрамерсаБриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х.А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923 математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель и Крамерс и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.

Вывод[править | править вики-текст]

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)

которое можно переписать в виде

\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x)

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

\Psi(x) = e^{\Phi(x)}

Φ должна удовлетворять уравнению

\Phi''(x) + \left[\Phi'(x)\right]^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)

где Φ' означает производную от Φ по x. Разделим \Phi'(x) на действительную и мнимую части вводя действительные функции A и B:

\Phi'(x) = A(x) + i B(x)

Тогда амплитуда волновой функции e^{\int^x A(x')dx'}\,\!, а фаза — {\int^x B(x')dx'}\,\!. Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения которым должны удовлетворять эти функции:

A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \;
B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0. \;

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням  \hbar . Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого  \hbar ^ {-1} , чтобы удовлетворить реальной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка насколько это возможно.

A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i A_i(x)
B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i B_i(x)

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)
A_0(x) B_0(x) = 0

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить A_0(x) = 0 и получить

B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }

Это верно, только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

\Psi(x) \approx C \frac{ e^{i \int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой мы положим B_0(x) = 0 и получим

A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }

Это верно если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}

Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где  E = V (x) и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне - фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота

Обозначим классическую точку поворота x_1. Вблизи E=V(x_1), можно разложить \frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) в ряд.

\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 (x - x_1) + U_2 (x - x_1)^2 + \cdots

Для первого порядка получим

\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x)

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом

\Psi(x) = \sqrt{x - x_1} \left( C_{+\frac{1}{3}} J_{+\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) + C_{-\frac{1}{3}} J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) \right)

Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между C,\theta и C_{+},C_{-}:

C_{+} = \frac{1}{2} C \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}
C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}

Что завершает построение глобального решения.

Литература[править | править вики-текст]

  • В.Л. Покровский. Квазиклассическое приближение. // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
  • ВКБ-метод. // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
  • H. Фрёман, П. У. Фрёман. ВКБ-приближение. — M., 1967.
  • В.П. Маслов, М.В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М., 1976.