Квантовая логика

Квантовая логика — раздел логики, необходимый для рассуждения о предложениях, которые учитывают принципы квантовой теории. Эта область исследований была основана в 1936 году работой Гарита Бирхофа и Джона фон Неймана, которые пытались примирить очевидную несогласованность классической логики с фактами по поводу измерения дополнительных переменных в квантовой механике, как например координата и импульс.

Квантовая логика может быть сформулирована как измененная версия логики высказываний. Она имеет несколько свойств, которые отличают её от классической логики. В частности, отсутствие дистрибутивности:

$p\;\mathrm{AND}\;(q\;\mathrm{OR}\;r)=(p\;\mathrm{AND}\;q)\;\mathrm{OR}\;(p\;\mathrm{AND}\;r)$,

где символы $p$, $q$ и $r$ — логические переменные.

Чтобы проиллюстрировать, почему дистрибутивный закон не работает, рассмотрим движущуюся по прямой частицу. Далее, пусть логические переменные $p$, $q$ и $r$ имеют следующие значения:

• $p=$ «частица двигается вправо»;
• $q=$ «частица слева от начала координат»;
• $r=$ «частица справа от начала координат».

Тогда предложение «$q\;\mathrm{OR}\;r$» всегда верно, точно как и

$p\;\mathrm{AND}\;(q\;\mathrm{OR}\;r)=p$

С другой стороны, «$p\;\mathrm{AND}\;q$» и «$p\;\mathrm{AND}\;r$» неверны, так как требуют более жёстких условий одновременных значений позиции и инерции, что не возможно по принципу неопределённости Гейзенберга. Поэтому

$(p\;\mathrm{AND}\;q)\;\mathrm{OR}\;(p\;\mathrm{AND}\;r)=\mathrm{FALSE}$

и дистрибутивность не может существовать.

Представьте лабораторию, которая имеет аппаратуру, необходимую для измерения скорости пули, выпущеной из огнестрельного оружия. Тщательно подбирая условия (температуру, влажность, давление и т.д.), необходимо неоднократно выстрелить из одного и того же оружия и провести измерения скоростей. Это даст некоторое распределение скоростей. Однако мы не будем стремиться получить тем же образом эти значения для каждого индивидуального измерения, для каждой группы измерений; мы ожидаем, что эксперимент приводит к такому же распределению скоростей. В частности, мы можем ожидать распределения вероятностей предложениям, например, { a ≤ скорость ≤ b}. Поэтому естественно предложить, что при контролируемых условиях подготовки измерение классической системы можно описать мерой вероятности на пространстве состояний. Такая же статистическая структура также присутствует в квантовой механике.

Мера квантовой вероятности функция P определяется на Q со значениями в [0,1] таком, что P(0) =0, P(I) =1 и если {Ei}i — последовательность парами ортогональных элементов Q, тогда справедлива следующая теорема:

Теорема Эндрю Глизона: Пусть H — отделимое комплексное Гильбертово пространство, как минимум размерности 3. Оператор S не обязательно отрицателен (это все собственные значения не отрицательны) и следа 1. Такой оператор часто называется оператором плотности.

Физики обычно представляют оператор плотности, как матрица плотности относительно некоторого ортонормального базиса.

Для более подробной информации о статистике квантовых систем, смотрите квантовую статистическую механику.

Литература

• Васюков В. Л. Квантовая логика. — М.: ПЕР СЭ, 2005. — 191 с. — ISBN 5-9292-0142-0
• Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. — М.: Мир, 1965. — 224 с.
• Меськов В. С. Очерки по логике квантовой механики. — М.: Изд-во МГУ, 1986. — 144 с.
• фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964. — 368 с.
• Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1989. — 488 с.
• Van Fraassen B.C. The Labyrinth of Quantum Logic, Logico-algebraic approach to quantum mechanics. Vol 1. Dordrecht-Boston: Reidel, 1975.
• G. Birkhoff and J. von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, vol 37, 1936, 823-843.
• D. Cohen, An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic, Springer-Verlag, 1989. This is a thorough but elementary and well-illustrated introduction, suitable for advanced undergraduates.
• D. Finkelstein, Matter, Space and Logic, Boston Studies in the Philosophy of Science vol V, 1969
• A. Gleason, Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space, Journal of Mathematics and Mechanics, 1957.
• R. Kadison, Isometries of Operator Algebras, Annals of Mathematics, vol 54 pp 325–338, 1951
• G. Ludwig, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1983.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy entry on Quantum Logic and Probability Theory