Логика высказываний

Логика высказываний (или пропозициональная логика от англ. propositional logic, или исчисление высказываний) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка.

Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений.

Основные понятия

Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, и (пропозициональная) формула, определяемой индуктивно следующим образом:

1. Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.
2. Если A — формула, то $\neg A$ — формула.
3. Если A и B — формулы, то $(A \to B)$, $(A \wedge B)$ и $(A \vee B)$ — формулы.
4. Других формул нет.

Множество пропозиционных формул называется языком логики высказываний (англ. propositional language, PL).

Знаки $\neg, \wedge, \vee$ и $\to$ (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

Правила построения формул логики высказываний

1. Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если элементарное логическое высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И, а если оно всегда неверно, — буквой Л. Тогда формулы первого уровня — это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка.
2. Пусть Ф1 и Ф2 — формулы ненулевого уровня. Тогда записи (¬(Ф1)), ((Ф1)$\vee$(Ф2)), ((Ф1)$\wedge$(Ф2)), ((Ф1)→(Ф2)) также являются формулами. Если же одна из формул Ф1 и Ф2 , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается.

Теперь, зная буквы-элементарные высказывания, мы никогда не ошибёмся, определяя, является ли формулой запись, содержащая эти буквы, скобки и символы связок, то есть правильно ли построено сложное высказывание. В процессе подобного опознавания мы выделяем части формулы, то есть более короткие формулы, из которых на каждом этапе строится более длинная формула с применением одной связки. Самыми простыми частями формулы являются, разумеется, элементарные высказывания. Значит, логический анализ формулы сводится к выделению всех её частей.

Пример

Пусть элементарными высказываниями являются А, В, С. Записи

¬ A$\wedge$ BC и (B)$\wedge$(B$\vee$A→C)

c формальной точки зрения не являются формулами, так как мы натыкаемся при их разборе на нарушение правил построения формул. (В первом случае отсутствует логическая связка между B и C и отсутствуют скобки вокруг ¬A. Во втором случае формула нулевого уровня В включена в скобки). А записи

(¬ A)$\wedge$(B$\vee$C) и B$\wedge$((B$\vee$A)→C)

вполне соответствуют требованиям построения формулы. В процессе анализа формулы (¬ A)$\wedge$(B$\vee$C) выделяются следующие её части:

               ( ¬A ) $\wedge$ ( B$\vee$C )
                      $\wedge$                     | Связующее действие
                 ¬A       B $\vee$ C             | Разделённые части (формулы первого уровня)
                 ¬          $\vee$               | Связующее действие
                 A        B    C             | Разделённые части (формулы нулевого уровня)
                                             | Все разделённые части являются элементарными высказываниями; разбор закончен.

Соглашения о скобках

Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, математики приняли соглашения о скобках, по которым некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются так:

• Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.
• Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например, $A \wedge B \wedge C$), то в скобки заключается сначала самая левая часть (т.е. две подформулы со связкой между ними). (Говорят также, что эти связки левоассоциативны.)
• Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам: $\neg, \wedge, \vee$ и $\to$ (от высшего к низшему).

Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.

Например: запись $A \vee B \wedge \neg C$ означает формулу $(A \vee (B \wedge ( \neg C)))$, а её длина равна 12.

Истинностное значение

Интерпретацией (моделью) языка логики высказываний называется функция из множества всех пропозициональных переменных в множество истинностных значений {0, 1}. Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если даны истинностные значения входящих в неё переменных. Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок.

Оценка отрицания $\neg p$ задаётся таблицей:

$p\!$	$\neg p$
$0\!$	$1\!$
$1\!$	$0\!$

Значение двуместных логических связок $\rightarrow$ (импликация), $\vee$ (дизъюнкция) и $\wedge$ (конъюнкция) определяются так:

$p\!$	$q\!$	$p\rightarrow q$	$p \wedge q$	$p \vee q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

Тождественно истинные формулы (тавтологии)

Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных (то есть, при любой интерпретации). Вот несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:

Законы де Моргана:

1) $\neg (p \vee q) \leftrightarrow (\neg p \wedge \neg q)$;

2) $\neg (p \wedge q) \leftrightarrow (\neg p \vee \neg q)$;

Закон контрапозиции:

$(p\rightarrow q)\leftrightarrow(\neg q\rightarrow \neg p)$;

Законы поглощения:

1) $p\vee(p\wedge q)\leftrightarrow p$;

2) $p\wedge(p\vee q)\leftrightarrow p$;

Законы дистрибутивности:

1) $p\wedge(q\vee r)\leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p \wedge r)$;

2) $p\vee(q\wedge r)\leftrightarrow(p\vee q)\wedge(p \vee r)$.

Исчисление высказываний

Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

$A_1 : A \rightarrow (B \rightarrow A)$;

$A_2 : ((A \rightarrow (B \rightarrow C)) \rightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)))$;

$A_3 : A \wedge B \rightarrow A$;

$A_4 : A \wedge B \rightarrow B$;

$A_5 : A \rightarrow (B \rightarrow (A \wedge B))$;

$A_6 : A \rightarrow (A \vee B)$;

$A_7 : B \rightarrow (A \vee B)$;

$A_8 : (A \rightarrow C) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow ((A \vee B) \rightarrow C))$;

$A_9 : \neg A \rightarrow (A \rightarrow B)$;

$A_{10} : (A \rightarrow B) \rightarrow ((A \rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A)$;

$A_{11} : A\vee\neg A$.

вместе с единственным правилом:

$\frac{A \rightarrow B, A}{B}$ (Modus ponens)

Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.

См. также

• Логика первого порядка
• Дизъюнктивная нормальная форма
• Конъюнктивная нормальная форма

Литература

• Герасимов А. С. Курс математической логики и теории вычислимости. — СПб.: Издательство «ЛЕМА», 2011. — 284 с. — ISBN 978-5-98709-292-7
• Кондаков Н. И. Логический словарь / Горский Д. П.. — М.: Наука, 1971. — 656 с.
• Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — 2-е изд., стереотип.. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 448 с. — ISBN 978-5-7695-4593-1