Коммутативная диаграмма

В математике (особенно в теории категорий), коммутативная диаграмма — изображаемая в наглядном виде структура наподобие графа, вершинами которой служат объекты определённой категории, а рёбрами — морфизмы. Коммутативность означает, что для любых выбранных начального и конечного объекта, для соединяющих их ориентированных путей композиция соответствующих пути морфизмов не будет зависеть от выбора пути.

Помимо собственно теории категорий, коммутативные диаграммы незаменимы в алгебраической геометрии и применяются во многих других современных областях математики.

Примеры

В примере, иллюстрирующем Первую теорему об изоморфизме, коммутативность диаграммы значит ровно то, что $f = \tilde{f} \circ \pi$:

Для обыкновенно встречающегося коммутативного прямоугольника коммутативность значит:

$h \circ f = k \circ g$

Значки

В алгебре принято обозначать разные типы морфизмов стрелками разных форм:

$\rightarrow$   просто морфизм	$\hookrightarrow$   мономорфизм
$\twoheadrightarrow$   эпиморфизм	$\overset{\sim}{\rightarrow}$   изоморфизм

Пунктирная стрелка обычно обозначает искомый морфизм (тогда как сплошные заданы изначально). Подразумевается, что если есть цепочка морфизмов (обозначенных сплошными линиями), соединяющие начало и конец искомого морфизма, то он существует и определяется из свойства коммутативности диаграммы.

См. также

• Точная последовательность

Ссылки

• Diagram Chasing at MathWorld