Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет абстрактную алгебру с геометрией. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем уравнений, задаваемых многочленами.

Алгебраическая геометрия обязана своим появлением нуждам теории абелевых интегралов, в которой были получены замечательные результаты, касающиеся алгебраических кривых и имеющие чисто геометрический смысл. Например, используя интегралы первого рода, К. Шварц доказал, что кривая, допускающая непрерывную группу бирациональных преобразований в себя, бирационально эквивалентна прямой или эллиптической кривой. Классический период алгебраической геометрии относится ко второй половине XIX века и представлен, главным образом, итальянской школой от Кремоны до Энрикеса.

В 30-х и 40-х годах XX века, идеи построения алгебраической геометрии на основе коммутативной алгебры, интенсивно развивавшейся в то время, восходят к О. Зарисскому и А. Вейлю. Развитие современной алгебраической геометрии во многом связано с работами французского математика А. Гротендика, который построил её на языке схем.

Основные понятия

Аффинные многообразия

Аффинное многообразие — это множество нулей многочлена или системы многочленов от нескольких переменных.

Пример. В декартовых координатах окружность радиуса 1 с центром в начале координат задаётся уравнением

$g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0. \,$

Изменяя выбор основного поля, то есть рассматривая многочлен $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1\,$ как элемент кольца многочленов $k[x,y]$, мы получаем пример аффинного многообразия над полем $k$.

Схема

Обобщением понятия многообразия как множества решения системы уравнений является понятие схемы.Аффинная схема это топологическое пространство $X = Spec A$ (спектр кольца A) вместе с пучком функций, заданных на пространстве X.

См. также

• Аналитическая геометрия
• Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами
• Алгебраическое многообразие
• Коммутативная алгебра
• Проективное пространство
• Пространство модулей
• Регулярная функция
• Схема (математика)

Литература

• Alexander Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, Publications mathématiques de l’IHÉS, 1960.
• Alexander Grothendieck, Séminaire de Géometrie Algébrique
• Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия. — М.: Мир, 1979.
• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970, на сайте nehudlit.ru.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. (в 3 томах)М.: ИЛ, 1954—1955.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — т.т.1-2, М.: Наука, 1988.