Теория категорий

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Некоторые математики считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для практического применения. В то же время, теория категорий занимает центральное место в современной математике^[1], она также нашла применения в информатике^[2] и в теоретической физике^[3]^[4].

[править] Определение

Категория $\mathcal{C}$ — это:

класс объектов $Ob_{\mathcal{C}}$ ;
для каждой пары объектов A,B задано множество морфизмов (или стрелок) $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ , причём каждому морфизму соответствует единственные A и B;
для пары морфизмов $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ и $g\in \mathrm{Hom}(B,C)$ определена композиция $g\circ f\in \mathrm{Hom}(A,C)$ ;
для каждого объекта $A$ задан тождественный морфизм $id_A\in \mathrm{Hom}(A,A)$ ;

причём выполняются две аксиомы:

операция композиции ассоциативна: $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$ и
тождественный морфизм действует тривиально: $f\circ id_A = id_B\circ f = f$ для $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$

Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру^[5].

[править] Примеры категорий

Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
Group — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру.
Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
Категория модулей.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).

[править] Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

[править] Двойственность

Для категории $\mathcal{C}$ можно определить двойственную категорию $\mathcal{C}^{op}$ , в которой:

объекты совпадают с объектами исходной категории;
морфизмы получаются «обращением стрелок»: $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

[править] Основные определения и свойства

[править] Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм $g \in \mathrm{Hom}(B,A)$ , что $g\circ f = id_A$ и $f\circ g = id_B$ . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов $End(A) = Hom(A, A)$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом $i d A$ .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов $Aut(A)$ по композиции.

[править] Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ такой, что для любых $g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(X,A)$ из $f\circ g_1 = f\circ g_2$ следует, что $g 1 = g 2$ . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых $g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(B,X)$ из $g_1\circ f = g_2\circ f$ следует $g 1 = g 2$ .

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

[править] Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество $\empty$ , терминальным — множество из одного элемента $\{\cdot\}$ .

Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

[править] Произведение и сумма объектов

Произведение объектов A и B — это объект $A\times B$ с морфизмами $p_1: A\times B\to A$ и $p_2: A\times B \to B$ такими, что для любого объекта $C$ с морфизмами $f_1: C\to A$ и $f_2: C\to B$ существует единственный морфизм $g: C \to A\times B$ такой, что диаграмма справа коммутативна. Морфизмы $p_1: A\times B\to A$ и $p_2: A\times B \to B$ называются проекциями.

Дуально определяется прямая сумма или копроизведение $A + B$ объектов $A$ и $B$ . Соответствующие морфизмы $\imath_A: A\to A+B$ и $\imath_B: B \to A+B$ называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B — это произведение в смысле теории множеств $A\times B$ , а прямая сумма — дизъюнктное объединение $A \sqcup B$ .

Пример: В категории Ring прямая сумма — это тензорное произведение $A\otimes B$ , а прямое произведение — сумма колец $A\oplus B$ .

Пример: В категории Vect_K прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это сумма векторных пространств $A\oplus B$ .

[править] Функторы

Основная статья: Функтор

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор $\mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ ставит в соответствие каждому объекту категории $\mathcal{C}$ объект категории $\mathcal{D}$ и каждому морфизму $f: A\to B$ морфизм $F(f): F(A)\to F(B)$ так, что

$F (i d A) = i d F (A)$ и
$F(g)\circ F(f) = F(g\circ f)$ .

Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из $\mathcal{C}$ в $\mathcal{D}^{op}$ , то есть «функтор, переворачивающий стрелки».

[править] Некоторые типы категорий

[править] См. также

[править] Ссылки

↑ Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
↑ D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — 1988. — XIII, 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
↑ Нужна ли физикам теория категорий?
↑ Топосы для физики. (англ.)
↑ J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

«Category Theory» in Stanford Encyclopedia of Philosophy

[править] Литература

С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология. — М.: Мир — том 114 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften, 1966 [1963].
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий. — М.: Наука, 1970.
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории. — том 06 серии — ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия`, 1969.
Букур [Bucur I.] Деляну[Deleanu A.] Введение в теорию категорий и функторов. — том 19 серии Pure & applied mathematics — a series of texts & monographs — 1972 [1968].
Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 2. — М.: Мир — том 191 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1976].
Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий. — М.: Мир — том 35 серии Springer-Verlag — Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete — 1971 [1967].
Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики. — том 98 серии Studies in logic & foundation of mathematics — 1983 [1979].
Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — том 33 серии Новое в зарубежной науке, математика — ред. Бухштабер В. М. — 1983.

[0] Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8

[1] D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — 1988. — XIII, 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.

[2] Нужна ли физикам теория категорий?

[3] Топосы для физики. (англ.)

[JoyOfCats-4] J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]