Контактная структура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности M^{2n+1}, состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

Определение[править | править вики-текст]

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы \lambda, что

\lambda\wedge (d\lambda)^n \ne 0

\lambda называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле Y на M^{2n+1} такое, что

\lambda(Y)=1
d\lambda(Y, X)=0

для любого векторного поля X.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
  • На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.

Симплектизация и контактизация[править | править вики-текст]

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Почти контактная структура[править | править вики-текст]

Пусть M^{2n+1} — нечётномерное гладкое многообразие \dim M = 2n + 1.

Почти контактной структурой на многообразии M называется тройка (\eta ,\xi ,\Phi) тензорных полей на этом многообразии, где \eta — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, \xi — векторное поле, называемое характеристическим, \Phi — эндоморфизм TM, называемый структурным эндоморфизмом. При этом

  1. \eta (\xi )=1
  2. \eta \circ \Phi =0
  3. \Phi (\xi )=0
  4. \Phi^2=-id+\eta \otimes \xi

Если, кроме того, на M фиксирована риманова структура g = \langle\cdot , \cdot\rangle , такая что

\langle \Phi X,\Phi Y \rangle =\langle X,Y \rangle -\eta(X)\eta(Y)

четвёрка (\eta,\xi,\Phi,g) называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

Литература[править | править вики-текст]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.