Критерий Уилкоксона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Т-критерий Вилкоксона — непараметрический статистический тест (критерий), используемый для проверки различий между двумя выборками парных измерений. Впервые предложен Фрэнком Уилкоксоном[1]. Другие названия — W-критерий Вилкоксона[2], критерий знаковых рангов Вилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона, критерий Уилкоксона для связных выборок[3].

Назначение критерия[править | править вики-текст]

Критерий предназначен для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность, то есть способен определить, является ли сдвиг показателей в одном направлении более интенсивным, чем в другом.

Описание критерия[править | править вики-текст]

Критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены, по крайней мере, в порядковой шкале. Целесообразно применять данный критерий, когда величина самих сдвигов варьирует в некотором диапазоне (10—15 % от их величины). Это объясняется тем, что разброс значений сдвигов должен быть таким, чтобы появлялась возможность их ранжирования. В случае если сдвиги незначительно различаются между собой и принимают какие-то конечные значения (например. +1, -1 и 0), формальных препятствий к применению критерия нет, но, ввиду большого числа одинаковых рангов, ранжирование утрачивает смысл, и те же результаты проще было бы получить с помощью критерия знаков.

Суть метода состоит в том, что сопоставляются абсолютные величины выраженности сдвигов в том или ином направлении. Для этого сначала все абсолютные величины сдвигов ранжируются, а потом суммируются ранги. Если сдвиги в ту или иную сторону происходят случайно, то и суммы их рангов окажутся примерно равны. Если же интенсивность сдвигов в одну сторону больше, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

Минимальное значение величины: W=n(n+1)/2, где n — объём второй выборки. Максимальное значение величины W=n(n+1)/2+mn, где n — объём второй выборки, m — объём первой выборки.

Ограничения критерия[править | править вики-текст]

Объем выборки — от 5 до 50 элементов[источник не указан 1070 дней].

Нулевые сдвиги исключаются из рассмотрения. (Это требование можно обойти, переформулировав вид гипотезы. Например: сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону их уменьшения и тенденцию к сохранению на прежнем уровне.)

Сдвиг в более часто встречающемся направлении принято считать «типичным», и наоборот.

Есть также урезанный вариант для сравнения одной выборки с известным значением медианы.

Алгоритм[править | править вики-текст]

  1. Составить список испытуемых в любом порядке, например, алфавитном.
  2. Вычислить разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах. Определить, что будет считаться типичным сдвигом.
  3. Согласно алгоритму ранжирования, проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя меньшему значению меньший ранг, и проверить совпадение полученной суммы рангов с расчетной.
  4. Отметить каким-либо способом ранги, соответствующие сдвигам в нетипичном направлении. Подсчитать их сумму Т.
  5. Определить критические значения Т для данного объема выборки. Если Т-эмп. меньше или равен Т-кр. – сдвиг в «типичную» сторону достоверно преобладает.

Фактически оцениваются знаки значений, полученных вычитанием ряда значений одного измерения из другого. Если в результате количество снизившихся значений примерно равно количеству увеличившихся, то гипотеза о нулевой медиане подтверждается.

Пример алгоритма для серии из двух опытов[править | править вики-текст]

Пусть имеется две серии эксперимента, в результате которых были получены две выборки объёмами n и m. Пусть нулевая гипотеза H0: Генеральные средние обеих выборок совпадают.

  1. Чтобы проверить гипотезу H0, необходимо:
  2. Просуммировать элементы второй выборки (вычислить W)
  3. Вычислить математическое ожидание случайной величины W. M(W) = n(m+n+1)/2
  4. При справедливости H0 математическое ожидание случайной величины W близко к статистике W.
  5. Проверка гипотезы начинается с выбора уровня значимости — а
  6. Вычислить пределы значимости (Из симметрии достаточно одного предела) и границу критической области W(a)
  7. Справедливость неравенства W > W(a) свидетельствует о справедливости нулевой гипотезы. H0 принимается на уровне значимости = а

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Wilcoxon, F. (1945). Individual comparisons by ranking methods. Biometrics, 1, 80-83.
  2. W критерий Уилкоксона
  3. Критерий Уилкоксона для связных выборок