Линейная экстраполяция

Линейная экстраполяция — один из методов экстраполяции в вычислительной математике, алгоритм (процедура) распространения выводов, сделанных относительно какой-либо части целого на совокупность частей для предсказания прямой зависимости функции изучаемой системы от её аргументов. Процесс калькуляции рассчитываемого показателя значения функции вне диапазона известных значений.

Линейная экстраполяция используется в компьютерном зрении как более продвинутый алгоритм, заменяющий линейную интерполяцию.

Принцип метода

Чтобы выполнить линейную экстраполяцию, нужны по крайней мере две точки данных для градиента линии. Проводим прямую линию, которая наилучшим образом соответствует данным, а затем получаем дополнительные данные за пределами диапазона. Эта спроецированная линия помогает оценить значения для x (независимой переменной), соответствующие заданным значениям y (зависимой переменной).

Линейная экстраполяция даёт хорошие результаты при выполнении следующих условий:

• используется для расширения графика приблизительно линейной функции
• не выходит слишком далеко за пределы известных данных.

Допустим, что есть две точки $(x_{k-1},y_{k-1})$и $(x_{k},y_{k})$, линейная экстраполяция для экстраполируемой точки $x_{*}$ даст функцию:

$y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).$

(что идентично линейной интерполяции, если $x_{k-1}<x_{*}<x_{k}$). Можно увеличивать количество точек и усреднять наклон линейного интерполятора с помощью методов регрессионного анализа. Это похоже на линейное предсказание.

Объект применения

Линейная экстраполяция позволяет оценить неизвестные значения (см. Тестирование по стратегии чёрного ящика), проведя прямую линию от существующих точек данных. Этот метод особенно полезен, когда в данных имеется чёткий линейный тренд, например, регрессия мутационного алгоритма бесконечного или конечного множества.

Область применения

Регрессия градиентов конечных и бесконечных множеств.

Интерполяция против экстраполяции

Интерполяция — два значения между известными значениями. Экстраполяция — данные за пределами известных значений.

Интерполяция может помочь предсказать вещи, которые, вероятно, произойдут (например, будущие события), но не обязательно те, которые гарантированно произойдут (например, выигрыш в лотерею).

Экстраполяция может быть использована для составления прогнозов относительно любого события — даже если оно маловероятно или невозможно — при условии, что имеется достаточно данных, чтобы делать прогнозы.

Литература

• Weak Correlations as the Underlying Principle for Linearization of Gradient-Based Learning Systems (англ.) : paper. — 2024. — doi:10.48550/arXiv.2401.04013.