Логицизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Логицизм — одно из основных направлений математики и философии математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения её исходных понятий к понятиям логики. Двумя другими основными направлениями являются интуиционизм и формализм[1].

Мысль о сведении математики к логике высказывалась Лейбницем в конце 17 в. Практическое осуществление логицистического тезиса было предпринято в конце 19 — начале 20 вв. в работах Фреге, и в «Principia mathematica» за авторством Уайтхеда и Рассела[2].

Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математическую теорему в аксиоматической системе можно рассматривать как некоторое утверждение о логическом следовании. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логические термины. К концу 19 в. в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними. Попытка сведения натуральных чисел к логическим понятиям была предпринята Г. Фреге. В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами некоторых понятий. Однако система Фреге не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств (см. парадокс Рассела), пытаясь свести её к логике. Обнаруженное противоречие побудило Рассела к пересмотру взглядов на логику, которую он сформулировал в виде теории разветвленных типов. Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, которые неестественно считать чисто логическими[2]. К ним относятся, например, аксиома бесконечности, которая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, то есть объектов наинизшего типа.

Ряд авторов полагает что с определенными изменениями логического аппарата Рассела логицизм возможен[3], другие же считают что попытка сведения математики к логике не удалась и идея логицизма оказалась утопичной. В 1931 году Гёдель доказывал что никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики[2].

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Н.Н. Непейвода Логицизм // Энциклопедия эпистемологии и философии науки.. — М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация», 2009..
  2. 1 2 3 Логицизм // Философия: Энциклопедический словарь.. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина., 2004.
  3. Irvine, A. D. Principia Mathematica // The Stanford Encyclopedia of Philosophy. — 2010.

Литература[править | править исходный текст]

  • Frege G., Grundgesetze der Arithmetik, begriffschriftlich abgeleitet, Bd 1—2, Jena, 1893—1903;
  • Whitehead A. N., Russell В., Principia Mathematica, Gamb., 1910;
  • Godel K., «Monatsh. Math, und Phys.», 1931, Bd 38, S. 173—98;
  • Карри Х., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969;
  • Френкель А.- А., Бар-Хиллел Н., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966.
  • Суровцев В. А. Ф. П. Рамсей и программа логицизма. — Томск: Изд-во. Том. ун-та, 2012. — 258 с.