Мощность множества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мощность множества или кардинальное число множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Существуют бо́льшие, есть ме́ньшие бесконечные множества, среди них счётное множество является самым маленьким.

Содержание 1 Определение 2 Пример 3 Свойства 4 Связанные определения 5 Литература

[править] Определение

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

[править] Пример

Множество чётных целых чисел имеет такую же мощность, что и множество целых чисел . Определим так: . f — биекция, поэтому

[править] Свойства

• Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
• Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью его собственного подмножества, например .
• Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2^A | > | A | .
• С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
• Мощность декартова произведения:

  

• Формула Грассмана:

  

[править] Связанные определения

Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом, и обозначается мощность такого множества A через | A | (сам Кантор использовал обозначение ). Иногда встречаются обозначения и card(A).

Мощность множества натуральных чисел обозначается символом («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность , таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются .

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c. Континуум-гипотеза утверждает, что .

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. То есть для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:

1. | A | = | B | или A и B равномощны;
2. | A | > | B | или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;
3. | A | < | B | или B мощнее A, в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой | A | > | B | и | A | < | B | , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

[править] Литература

• А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3