Мера Эрроу — Пратта

Мера Эрроу — Пратта — применяемая в экономической теории мера неприятия риска.

Определение

Абсолютная мера неприятия риска Эрроу — Пратта определяется следующим образом:

$R_{a}=-{\frac {u''(x)}{u'(x)}}=-{\frac {d\ln MU(x)}{dx}}$,

то есть равна производной логарифма предельной полезности по объёму потребления (с обратным знаком).

Относительная мера неприятия риска Эрроу — Пратта равна эластичности предельной полезности по объёму потребления (также с обратным знаком):

$R=-{\frac {xu''(x)}{u'(x)}}=-{\frac {d\ln MU(x)}{d\ln x}}$

Теорема Пратта

Теорема Пратта утверждает эквивалентность следующих трёх способов ранжирования неприятия риска.

Первый способ — по мере Эрроу — Пратта — чем больше, тем больше степень неприятия риска.

Второй способ — потребитель 1 имеет большую степень неприятия риска, чем потребитель 2, если существует строго возрастающая строго вогнутая (выпуклая вверх) функция $G$, такая что $\forall x,u_{1}(x)=G(u(x))$, где $u_{1}(x),u_{2}(x)$- функции полезностей первого и второго потребителя соответственно.

Третий способ — неприятие риска тем больше, чем больше так называемое вознаграждение за риск $\pi (x)$ (для всех $x$), определяемая как такая величина, что $Eu(x)=u(Ex-\pi (x))$, то есть величина $Ex-\pi (x)$ является безрисковым эквивалентом $x$.

В теореме предполагается дважды непрерывная дифференцируемость функций полезности со стандартными условиями положительности первой производной (предельной полезности) и неположительности второй (невозрастание предельной полезности, то есть вогнутость или выпуклость вверх функций полезности).

Можно показать, что требуемое вознаграждение за риск в первом приближении выражается через меру Эрроу-Пратта $r(x)$ следующим образом $\pi (x)=r(x)\sigma ^{2}/2$, где $\sigma ^{2}$ — дисперсия лотереи.

Функции полезности постоянными мерами Эрроу — Пратта

Для функции с постоянной абсолютной мерой неприятия риска Эрроу — Пратта общий вид функции полезности следующий:

$u(x)=c_{1}-c_{2}e^{-\alpha x}$.

Параметр $c_{1}$ здесь фактически определяет максимальную полезность, достигаемую асимптотически с ростом $x$.

Для функции с постоянной относительной мерой неприятия риска Эрроу — Пратта общий вид функции полезности следующий:

$u(x)=c_{1}+c_{2}{\frac {x^{1-\theta }}{1-\theta }},\theta <>1$.

В частном (особом) случае единичной эластичности ($\theta =1$) функция полезности имеет вид:

$u(x)=c_{1}+c_{2}\ln x$.