Метод стационарной фазы

Метод стационарной фазы — метод, использующийся для аппроксимации интегралов вида: $\int\limits_a^b e^{i\lambda\phi(x)}\Phi(x)dx$

Основы

Основная идея метода стационарной фазы заключается в сокращении синусоид с быстро меняющейся фазой. Если много синусоид имеют одинаковые фазы, то они складываются, усиливая друг друга. Однако если эти же синусоиды имеют фазы, быстро меняющиеся с изменением частоты, они будут складываться, то усиливая, то ослабляя друг друга.

Пример

Рассмотрим функцию

$f(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} F(\omega) e^{i(kx - \omega t)} d\omega$

Фазовое слагаемое в этой функции, $\phi = kx - \omega t$ является "стационарным" когда

$\frac{d}{d\omega}\left(k\left(\omega\right)x - \omega t\right) \approx 0$

или эквивалентно,

$\frac{d\omega}{dk} \approx \frac{x}{t}$

Корень этого уравнения даёт доминирующую частоту $\omega_{dom}(x, t)$ для заданных $x$ и $t$. Если мы разложим φ в ряд Тейлора вблизи $\omega_{dom}$ и пренебрежем слагаемыми старшего порядка по отношению к $(\omega - \omega_{dom})^2$, то

$\phi \sim k(\omega_{dom})x - \omega_{dom} t + \frac{x}{2}\frac{d^2k}{d\omega^2}(\omega-\omega_{dom})^2$

Когда x большое, даже малая разница $\omega-\omega_{dom}$ обеспечит быстрые осцилляции в подынтегральном выражении, приводя к сокращению. Таким образом, мы можем расширить границы интегрирования вне границы разложения в ряд Тейлора. Чтобы учесть отрицательные частоты, необходимо удвоить действительную часть:

$f(x, t) = \frac{1}{2\pi} 2 \mbox{Re}\left\{ \exp\left[i\left[k(\omega_{dom})x-\omega_{dom}t\right]\right] \left|F(\omega_{dom})\right| \int_{\mathbb{R}}\exp\left[i\frac{x}{2}\frac{d^2k}{d\omega^2}(\omega-\omega_{dom})^2\right]d\omega\right\}$

Проинтегрировав, имеем

$f(x, t) \sim \frac{\left|F(\omega_{dom})\right|}{\pi} \sqrt{ \frac{2\pi}{x\left|\frac{d^2k}{d\omega^2}\right|}} \cos\left[ k(\omega_{dom})x - \omega_{dom}t \pm \frac{\pi}{4}\right]$

Книги

• Федорюк М.В. Метод перевала. — 1977. — С. 366.
• А. И. Прилепко, Д. Ф. Калиниченко Асимптотические методы и специальные функции. — М.: МИФИ, 1980. — С. 107.
• А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов Теория функций комплексной переменной. — 5-е изд.. — М.: Наука, Физматлит, 1999. — С. 319. — ISBN 5-02-015233-1

См. также

• Метод перевала
• Метод Лапласа