Интеграл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является интеграл Римана.

Типы интегралов

• Определённый интеграл и Неопределённый интеграл
• Интеграл Римана и Римана — Стилтьеса
• Интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса
• Интеграл Даниэля

По области интегрирования

• Кратный интеграл
• Криволинейный интеграл
• Поверхностный интеграл

Интегралы, зависящие от параметров

Дифференцирование по параметру

Пусть задан интеграл вида

$I(t) = \int\limits_{x_1(t)}^{x_2(t)}f(x,t)\mathrm dx.$

В таком случае, производная по параметру t будет равна

$\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt} = f(x_2,t)\frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dt} - f(x_1,t)\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt} + \int\limits_{x_1(t)}^{x_2(t)}\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm dx.$

История

Интеграл в древности

Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод впоследствии использовали Цзу Чунчжи и Цзу Гэн для нахождения объёма шара.

Следующий крупный шаг в исчисление интегралов был сделан в Ираке, в XI веке, математиком Ибн ал-Хайсамом (известным как Alhazen в Европе), в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвёртой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определённого интеграла, чтобы найти объём параболоида. Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов, но он не касается любых многочленов выше четвёртой степени.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

Обозначение

Ньютон использовал (не везде) в качестве символа интегрирования значок квадрата (перед обозначением функции или вокруг него), но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он образовал интегральный символ $\int$ из буквы ſ («длинная s») — сокращения слова лат. summa (тогда ſumma, сумма). Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, были впервые предложены Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1819-20 годах.

См. также

• Первообразная
• Основная теорема анализа
• Знак интеграла
• Интегральное исчисление
• Численное интегрирование
• Методы интегрирования
• Список интегралов элементарных функций
• Теорема об ограниченности интегрируемой функции
• Теорема о среднем в определённом интеграле

Литература

• Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.
• Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 10. Определенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Демидович Б.П. Отдел 4. Определенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Интеграл — статья из Большой советской энциклопедии
• Аналог Wolfram Integrator с подробным решением интегралов