Интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определённый интеграл как площадь фигуры

У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения).

В математическом анализе интегралом функции называют расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при нахождений таких величин как площадь, объём, масса, смещение и т. д., когда задана скорость или распределение изменений этой величины по отношению к некоторой другой величине (положение, время и т. д.).

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат.

Согласно oсновной теореме анализа, интегрирование — операция, обратная к дифференцированию.

Содержание

1 Типы интегралов
- 1.1 Криволинейный интеграл
2 История
- 2.1 Интеграл в древности
3 См. также
4 Ссылки

[править] Типы интегралов

[править] Криволинейный интеграл

Пусть AB — кривая на плоскости, тогда интеграл $~ \int_{AB}F(x,y)dl,$ где $d l$ — приращение длины дуги, называется криволинейным интегралом (первого рода) по кривой AB.

Криволинейный интеграл второго рода отличается от криволинейного интеграла первого рода тем, что приращение рассматривается по одной из независимых переменных, например,

$~ \int_{AB}F(x,y)dx$

зададим x и y параметрически, тогда

$\int_{AB}F(x,y)dx=\int_\alpha^\beta F(x(t),y(t))x'(t)dt$

[править] История

Знак интеграла (∫), был впервые использован Лейбницем в конце XVII века. Этот символ образовался из буквы S — сокращения слова лат. summa (сумма).

[править] Интеграл в древности

Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для рассчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н.э Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма сферы.