Интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Определённый интеграл как площадь фигуры

Интеграл функции — аналог суммы бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых. В простейшем случае[1] имеется в виду разбиение области интегрирования, являющейся отрезком, на бесконечно малые отрезки, и сумма произведений значения функции аргумента, принадлежащего каждому отрезку, и длины соответствующего бесконечно малого отрезка области интегрирования, в пределе, при бесконечно мелком разбиении:

S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i \rightarrow \int f(x) dx.

Поэтому, неформально, определенный интеграл является площадью между графиком функции и осью абсцисс в пределах интегрирования, то есть площадью криволинейной трапеции.

(В случае интегрирования функции двух переменных или функции двумерной переменной по двумерной области, это будет объем под поверхностью, являющейся графиком функции; аналогично и для бо́льших размерностей).

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающихся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является интеграл Римана.

Неформальное геометрическое описание[править | править вики-текст]

Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.

Неформально интеграл функции одной переменной можно ввести как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).

Пытаясь найти эту площадь, можно рассматривать фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.

Площадь S такой фигуры при каком-то конкретном разбиении на отрезки длинами \Delta x_i будет интегральной суммой:

S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i.

В пределе - при «размельчении» разбиения (когда каждое \Delta x_i стремится к нулю) интегральная сумма должна стремиться к интегралу функции f на отрезке:

S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i \rightarrow \int f(x) dx.

Альтернативная наглядная интерпретация[править | править вики-текст]

Очень сходна интерпретация интеграла как сложения масс элементарных объемов при нахождении массы неоднородного тела исходя из его плотности (являющейся функцией координат):

m = \int dm = \int \rho(x) dV_x.

В случае меньшей размерности области интегрирования (не 3, а 2 или 1) - под \rho(x) имеется в виду двумерная (поверхностная) или одномерная ("линейная") плотность, а под dV_x - элементарная площадь или элементарная длина соответственно.

Для произвольной размерности n под dV_x понимается n-мерный объем.

Общее определение[править | править вики-текст]

Основной источник: [2]

Пусть E — измеримое множество, а f(x) — неотрицательная вещественная функция, заданная на E. Разобъём E на конечное число непересекающихся измеримых частей E = \bigcup_{i=1}^{n}E_{i}, E_{i} \bigcap E_{j} = \varnothing при i \ne j. Пусть u_{i}=\inf_{E_{i}}f(x). Рассмотрим сумму \sum_{i=1}^{n}u_{i} \mu E_{i}.Здесь \mu E_{i} — мера подмножества E_{i}. Точная верхняя граница таких сумм, составленных для всевозможных разбиений множества E указанного вида, конечная или бесконечная, \int_E f(x) d\mu = \sup \sum_{i=1}^{n} u_{i} \mu E_{i} называется интегралом от f(x) по множеству E и обозначается \int_E f(x) d\mu. Если \int_E f(x) d\mu < \infty, то неотрицательная функция f(x) называется интегрируемой или суммируемой на множестве E. Пусть теперь f(x) — произвольная вещественная функция, заданная на E. Рассмотрим функции


f_{+}(x)=
\begin{cases}
  f(x),\quad f(x)>0\\
  0,\quad f(x) \leqslant 0
\end{cases}

и


f_{-}(x) = 
\begin{cases}
  0,\quad f(x) \geqslant 0\\
  -f(x),\quad f(x) < 0
\end{cases}
.

Обе эти функции неотрицательны на множестве E и поэтому для них определены конечные или бесконечные интегралы \int_E f_{+}(x) d\mu и \int_E f_{-}(x) d\mu. Если по крайней мере один из этих интегралов конечен, то разность: \int_E f_{+}(x) d\mu - \int_E f_{-}(x) d\mu называется интегралом от f(x) по E и обозначается \int_E f(x) d\mu. Если оба интеграла \int_E f_{+}(x) d\mu и \int_E f_{-}(x) d\mu конечны, то конечен и интеграл \int_E f(x) d\mu. В этом случае функция f(x) называется интегрируемой или суммируемой на E.

Формула Ньютона-Лейбница \int ^{b}_{a}f\left( x\right) dx=F\left( x\right) \vline ^{b}_{a}=F\left( b\right) -F\left( a\right)

Типы интегралов[править | править вики-текст]

По области интегрирования[править | править вики-текст]

Интегралы, зависящие от параметров[править | править вики-текст]

Дифференцирование по параметру[править | править вики-текст]

Пусть задан интеграл вида

I(t) = \int\limits_{x_1(t)}^{x_2(t)}f(x,t)\mathrm dx.

В таком случае, производная по параметру t будет равна[3]

\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt} = f(x_2,t)\frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dt} - f(x_1,t)\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt} + \int\limits_{x_1(t)}^{x_2(t)}\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm dx.

История[править | править вики-текст]

Интеграл в древности[править | править вики-текст]

Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э.[источник не указан 543 дня], Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближённого расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод впоследствии использовали Цзу Чунчжи и Цзу Гэн для нахождения объёма шара.

Следующий крупный шаг в исчисление интегралов был сделан в Ираке, в XI веке, математиком Ибн ал-Хайсамом (известным как Alhazen в Европе), в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвёртой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определённого интеграла, чтобы найти объём параболоида. Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов, но он не касается любых многочленов выше четвёртой степени.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые указали на связь между интегрированием и дифференцированием.

Обозначение[править | править вики-текст]

Ньютон использовал (не везде) в качестве символа интегрирования значок квадрата (перед обозначением функции или вокруг него), но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он образовал интегральный символ \int из буквы ſ («длинная s») — сокращения слова лат. summa (тогда ſumma, сумма).[4] Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, были впервые предложены Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1819-20 годах.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В случае непрерывной функции одного (одномерного) аргумента
  2. Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 101
  3. Будылин А. М. Вариационное исчисление (рус.). Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета. — Цифровое издание. Часть 3.3.1. Дифференцирование интеграла по параметру.. Проверено 10 июля 2011. Архивировано из первоисточника 18 февраля 2012.
  4. Florian Cajori A history of mathematical notations. — Courier Dover Publications, 1993. — P. 203. — 818 p. — (Dover books on mathematics). — ISBN 9780486677668.

Литература[править | править вики-текст]

  • Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — 1966.
  • Никольский С. М. Глава 9. Определённый интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.
  • Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределённый интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 10. Определённый интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределённый интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Демидович Б.П. Отдел 4. Определённый интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки[править | править вики-текст]