Метод перевала

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод перевала — метод, использующийся для аппроксимации интегралов вида

\int\limits_\gamma \! \Phi(z)  e^{\lambda \phi(z)}\, dz\,

где \Phi(z), \! \phi(z) — это некоторые мероморфные функции, \lambda — это некоторое большое число, а контур \gamma \in \mathbb{C} может быть бесконечным. Этот метод часто называется обобщением метода Лапласа.


Алгоритм решения[править | править исходный текст]

  1. Свести интеграл к виду I(\lambda) = \int\limits_\gamma \! \Phi(z)  e^{\lambda \phi(z)}\, dz\,
  2. Поскольку при  \lambda \to \infty поведение  I(\lambda) определяется показателем экспоненты, то необходимо исследовать следующим образом функцию  \phi(z)  :
    1. Найти точки перевала, т. е. такие точки где выполняется соотношение:  \phi'(z) = 0
    2. Построить линии наискорейшего убывания.
  3. Деформировать контур  \gamma по линиям наискорейшего убывания.
  4. Получить асимптотику интеграла используя метод Лапласа.
Контур интегрирования для метода перевала.png

Пример: Асимптотика функции Эйри[править | править исходный текст]

Функция Эйри задается следующим интегралом:

 I(z) = \int\limits_{\gamma} \exp \left(pz - \frac{p^3}{3}\right) dp

В качестве контура  \gamma будем использовать тот, который представлен на рисунке справа. Сделаем замену  p = \sqrt{z} s и получим:  I(z) = \sqrt{z} \int\limits_{\gamma} \exp \left[-z^{3/2} \left(s + \frac{s^3}{3} \right)\right] ds

Таким образом мы получили необходимый вид интеграла с функцией  \phi(s) = s + \frac{s^3}{3} . Точки перевала, следовательно, равны:  s = \pm i .

Линии наискорейшего роста для метода перевала.png

Из условий Коши-Римана следует, что в точках перевала кривые наискорейшего роста и наискорейшего убывания пересекаются под прямым углом, причем нигде кроме точек перевала они больше пересекаться не могут. Из этих простых соображений можно однозначно их построить. Кривые наискорейшего убывания представлены на рисунке (стрелочками обозначено направление роста).

Для того, чтобы воспользоваться методом Лапласа для нахождения асимптотики этого интеграла, необходимо линейными преобразованиями деформировать контур  \gamma по кривым наискорейшего убывания. Поскольку на этих кривых достигается глобальный максимум функции  \phi(s) , то мы можем рассматривать только небольшую его окрестность. Следовательно, разложим в окрестности точки перевала функцию  \phi(s) в ряд Тейлора:

Книги[править | править исходный текст]

  • Федорюк М.В. Метод перевала. — 1977. — С. 366.
  • А. И. Прилепко, Д. Ф. Калиниченко Асимптотические методы и специальные функции. — М.: МИФИ, 1980. — С. 107.
  • А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов Теория функций комплексной переменной. — 5-е изд.. — М.: Наука, Физматлит, 1999. — С. 319. — ISBN 5-02-015233-1

См. также[править | править исходный текст]