Минимизация ДКА

Минимизация ДКА — построение по детерминированному конечному автомату (ДКА) эквивалентного ДКА, имеющего наименьшее возможное число состояний.

Минимальный ДКА

Для любого регулярного языка существует минимальный ДКА, который его принимает, то есть, ДКА с наименьшим возможным числом состояний. Такой автомат единственен с точностью до изоморфизма.

Алгоритмы

Алгоритм Хопкрофта

1.     Разделить все состояния ДКА на две группы: группу конечных состояний и группу неконечных состояний.

2.     Для каждого символа алфавита, проверить, в какую из групп перейдет автомат из каждого состояния, используя данный символ. Если из состояний A и B можно перейти в состояния C и D соответственно, то состояния A и B будут считаться эквивалентными по данному символу, если состояния C и D принадлежат одной и той же группе.

3.     На основе этой информации разделить каждую группу на подгруппы, где состояния, эквивалентные по всем символам алфавита, находятся в одной подгруппе.

4.     Повторять шаги 2 и 3 до тех пор, пока группы перестанут разделяться.

5.     Построить новый автомат, используя полученные подгруппы в качестве новых состояний. Переходы между состояниями будут соответствовать переходам между подгруппами.

6.     Удалить недостижимые состояния.

Алгоритм Бжозовского

Пусть ${\mathcal {A}}$ — ДКА. Обозначим через $r({\mathcal {A}})$ инвертированный автомат ${\mathcal {A}}$. Через $d({\mathcal {A}})$ обозначим детерминизированный автомат, полученный из ${\mathcal {A}}$ процедурой построения подмножеств. Имеет место следующий результат:

Пусть автомат ${\mathcal {A}}$ распознаёт язык $L$. Тогда минимальный ДКА для языка $L$ может быть найден как ${\mathcal {A}}_{L}=drdr({\mathcal {A}}).$

См. также

• Конечный автомат
• Минимальная форма автомата
• Суффиксный автомат

Литература

• John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. Introduction to automata theory, languages, and computation, 2nd edition // ACM SIGACT News. — 2001-03-01. — Т. 32, вып. 1. — С. 60. — ISSN 0163-5700. — doi:10.1145/568438.568455.

Ссылки

• Алгоритм Бржозовского // Викиконспекты Университета ИТМО
• Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) // Викиконспекты Университета ИТМО