Свёртка Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике Свёртка Дирихле — это бинарная операция, определенная для арифметических функций, используемая в теории чисел. Она была изобретена и исследована немецким математиком Петером Густавом Леженом Дирихле.

Определение[править | править вики-текст]

Если f и g — две арифметические функции (то есть функции, отображающие множество натуральных чисел во множество комплексных чисел), то мы можем определить новую функцию f*g, называемую свёрткой Дирихле функций f и g как

(f*g)(n) = \sum_{d\mid n} f(d)g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{ab=n}f(a)g(b)

где сумма берется по всем натуральным делителям d числа n, или, что эквивалентно, по всем парам (a, b) натуральных чисел, произведение которых равно n.

Свойства[править | править вики-текст]

Множество арифметических функций по поточечному сложению (то есть функция f+g определяется соотношением (f+g)(n)=f(n)+g(n)) и свёртке Дирихле образуют коммутативное кольцо, или кольцо Дирихле. Единицей кольца будет функция \epsilon определенная как \epsilon(n)=1, если n=1 и \epsilon(n)=0, если n>1. Обратимыми элементами являются все функции f такие, что f(1)\neq 0.

В частности, свёртка Дирихле является[1] ассоциативной:

(f*g)*h=f*(g*h),

дистрибутивной по сложению

f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f,

коммутативной,

f*g=g*f,

и имеет нейтральный элемент,

f*\epsilon=\epsilon*f=f.

Для каждой функции f, для которой f(1)\neq 0 существует функция g такая, что f*g=\epsilon, называемая обращением Дирихле функции f.

Свёртка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна, и каждая мультипликативная функция имеет мультипликативное обращение Дирихле. Статья о мультипликативных функциях содержит некоторые сходные соотношения свёртки, важные для мультипликативных функций.

Если f — вполне мультипликативная функция, то f(g*h)=(fg)*(fh), где умножение функций определяется как их поточечная композиция.[2] Свёртка двух вполне мультипликативных функций не всегда является вполне мультипликативной.

Примеры[править | править вики-текст]

В приведенных ниже формулах используются следующие обозначения

\epsilon — единица по умножению кольца.
1 — это постоянная функция, значения которой равны 1 для всех n. (То есть 1(n)=1.) Запомните, что 1 — это не единица кольца.
1_C, где C\subseteq\mathbb{Z}, — индикаторная функция. (То есть 1_C(n)=1, если n\in C, иначе равна нулю)
\operatorname{Id} — тождественная функция (то есть \operatorname{Id}(n)=n)
\operatorname{Id}_k — k-я степень тождественной функции. (То есть \operatorname{Id}_k = n^k.)
Прочие функции можно найти в статье арифметическая функция.
  • 1*\mu=\epsilon (обращение Дирихле единичной функции равно функции Мёбиуса.) Отсюда следует, что
  • \lambda * 1=1_S, где S=\{1;4;9;16;...\} — множество квадратов
  • \sigma_k=\operatorname{Id}_k*1, где \sigma_k(n) =\sum\limits_{d\mid n}d^k — сумма k-х степеней делителей числа
  • \operatorname{Id}=\sigma*\mu
  • 1=\tau*\mu
  • \tau^3*1=(\tau*1)^2
  • J_k*1=\operatorname{Id}
  • (\operatorname{Id}_{s}J_r)*J=J_{s+r}
  • \sigma=\varphi*\tau. Доказательство: выполним свёртку обеих частей с 1 в тождестве \operatorname{Id}=\varphi*1.

Обращение Дирихле[править | править вики-текст]

Если задана арифметическая функция f, то её обращение Дирихле g=f^{-1} может быть вычислена рекурсивно (точнее каждое значение g(n) выражается через g(m) для m<n) через определение обращения Дирихле

Для n=1 g(1)=f^{-1}(1) — определена при f(1)\neq 0

И в общем для всех n>1

g(n)=\frac{-1}{f(1)} \sum_\stackrel{d\mid n} {d < n}f\left(\frac{n}{d}\right) g(d).

g(n) определено, если f(1)\neq 0. Таким образом, функция f имеет обращение Дирихле тогда и только тогда, когда f(1)\neq 0.

Ряды Дирихле[править | править вики-текст]

Если f — арифметическая функция, то можно определить её ряд Дирихле, производящую функцию как

\operatorname{DG}(f;s) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{f(n)}{n^s}

для всех таких комплексных аргументов s, для которых ряд сходится. Произведение рядов Дирихле связано с её свёрткой Дирихле следующим образом:

\operatorname{DG}(f;s) \operatorname{DG}(g;s) = \operatorname{DG}(f*g;s)

для всех s, для которых оба ряда слева сходятся, причем хотя бы один сходится абсолютно (заметим, что просто сходимость обоих рядов слева не влечет сходимость ряда справа!). Это похоже на теорему сходимости если понимать ряд Дирихле как преобразование Фурье.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Доказательства изложены в Chan, ch. 2
  2. Доказательство в статье en:Completely multiplicative function#Proof of pseudo-associative property.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Chan Heng Huat Analytic Number Theory for Undergraduates. — World Scientific Publishing Company, 2009. — ISBN 981-4271-36-5.
  • Hugh L. Montgomery Multiplicative number theory I. Classical theory. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007. — Vol. 97. — P. 38. — ISBN 0-521-84903-9.
  • A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion, стр. 13—23.
  • Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer, стр. 66—80.
  • The number of unitary divisors of an integer, стр. 879—880.
  • On an integers' infinitary divisors, стр. 395—411.
  • Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer, стр. 373—383.
  • (2003) «The Möbius function: generalizations and extensions». Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) 6: 77–128.
  • Unitarism and Infinitarism(недоступная ссылка — история) (2004). Архивировано из первоисточника 1 сентября 2006.