Обсуждение:Метод неделимых

Пример 1

Мне кажется, в первом примере упущено что-то важное. Сейчас он ничем не отличается от "парадоксального" применения принципа, абзацом ранее. Я имею в виду, можно таким же образом провести выкладки с треугольником с высотой, скажем, 2009, и доказать, что площадь любого круга равна $2009\pi R$.--Udalov 10:13, 6 июня 2009 (UTC)

Ваше замечание справедливо, причём не только для примера 1, но и для всех применений метода неделимых, поскольку ясное обоснование данного метода отсутствовало. Вероятно, сам Кавальери возразил бы только, что в примере 1 не только длины сечений в обоих фигурах равны, но и мера множества сечений тоже одинакова (равна R), в то время как в контрпримере эти меры различны. Конечно, с современной точки зрения, это пустой аргумент. Другое объяснение, которое часто приводилось сторонниками метода неделимых: он имеет эвристический характер, то есть позволяет угадать правильный ответ, который затем желательно подтвердить классическим методом исчерпывания. LGB 14:31, 6 июня 2009 (UTC)

Корректировка определения

Считаю необходимым отказаться от советского определения, как ошибочного. Все современные авторитетные источники указывают на "метод неделимых", как на название конкретного метода, введённого конкретным математиком в конкретной работе. Упоминание "довольно разнородных приёмов вычисления площадей и объёмов", равно как и хорошее описание в разделе "История" относится к понятию "неделимого", но не к самому методу. Кроме того, использование в определении "метода неделимых" забавного словосочетания "объём фигуры" слегка снижает авторитетность статьи (но, разумеется, не всей Математической энциклопедии в целом). С уважением, Bums 10:24, 30 января 2014 (UTC)
P.S. Приношу извинения за обилие правок — срабатывает страх новичка, опасающегося, что строгие администраторы откатят все правки разом и стремящегося внести корректировки как можно быстрее. Обещаю стараться впредь прорабатывать материал в отдельном месте.

Часть правок я считаю приемлемой, но сама идея свести метод неделимых к принципу Кавальери, хотя она неявно присутствует и в английском разделе, глубоко ошибочна и дезориентирует читателя. Если её сохранить, то исторический очерк придётся удалить, поскольку он далеко выходит за пределы принципа Кавальери и рассматривает весь период развития идеи неделимых, включая Архимеда и особенно Кеплера, который применял метод раньше Кавальери и не менее успешно (кстати, в английском разделе это тоже отмечено). Ваша фраза «Все современные авторитетные источники указывают на "метод неделимых", как на название конкретного метода, введённого конкретным математиком в конкретной работе» — голословное утверждение и легко опровергается многочисленными источниками, причём далеко не только советскими (см. тут).

Кроме того, при сужении метода до принципа выпадают открытия Валлиса, после алгебраизации которого принцип Кавальери практически потерял значение. Наконец, ваши правки практически не содержат ссылок на источники. Ссылка 1 на Британнику также противоречит новому тексту, тексту, поскольку она ясно указывает, что Кавальери не открыл, а всего лишь развил (developed) метод неделимых.

Если с вашей стороны не последует аргументированных возражений, я восстановлю прежнюю идеологию, чётко разделив метод неделимых и принцип Кавальери и отметив последний не как суть метода, а как одну из попыток его идеологического обоснования. LGB 11:02, 30 января 2014 (UTC)

Многое хочется написать, но мне не указаны сроки подачи возражений, так что быстро набросаю первое пришедшее в голову. При необходимости дискуссию можно продолжить.

Рассмотрим текст Британники. Охотно принял бы Вашу аргументацию, если бы не кое-какие нюансы. "Develop" имеет множество значений и, кроме «развить», в равной мере переводится, как «разработать», следовательно, подлинный смысл можно понять лишь из контекста. Переходим к тексту. «By 1629, when he was appointed professor of mathematics of the University of Bologna, Cavalieri had completely developed his method of indivisibles, a means of determining the size of geometric figures similar to the methods of integral calculus». Заметьте — ни «a method», ни «one of the methods», ни даже «his own method» (в любом бы из этих случаев я признал Вашу правоту). Чёрным по белому написано об авторстве "метода неделимых", не случайно выделенного жирным. Оставшиеся сомнения развевает использование наречия «completely»: "окончательно развить" и "окончательно разработать" абсолютно эквивалентны. Можете проконсультироваться у любого, хорошо знающего английский – он подтвердит мою правоту.

Также озадачивает, что упрекая меня в голословности и неподкреплённости сведений авторитетными источниками, Вы сами используете, в качестве такового Google (?!). Что ж, из любопытства я проанализировал первые десять ссылок.

Первая: слово method встречается два раза, один раз в применении к Кеплеру, второй – к Архимеду в контексте «his own method» (см. пояснение по Британнике), нигде не указано, что эти учёные использовали это слово в своих работах, и суть этих общих фраз можно спокойно перевести, как «свои приёмы работы», без потери смысла.

Вторая: Cavalieri was led to his 'method of indivisibles' by Kepler's attempts at integration. Ясно написано, что Кавальери пришёл к своему «методу неделимых» (в кавычках, обратите внимание), благодаря наработкам Кеплера по интегрированию (с этим-то кто спорит? я вас умоляю).

Третья: ВНЕЗАПНО перевод статьи из БСЭ, с конкретным указанием на этот факт.

Четвёртая: цитата-ссылка на первую.

Пятая: чёрным по белому написано: «Cavalieri's Method of Indivisibles: <Geometria indivisiblilibus>, published in its first form in 1635, devoted to the precalculus method of indivisibles.» Method of indivisibles выделен чёрным.

Шестая: ссылка в Google Books на, судя по всему, интереснейшую книгу Маргарет Э. Барон «Происхождение исчисления бесконечно малых» с небольшим числом примеров страниц. Словосочетание «метод неделимых» не нашёл. Кеплеру посвящена глава на 8 страниц, Кавальери – на 13. К сожалению, именно по Кавальери примеров страниц нет.

Седьмая: общая книга по математике «Конфликты по обобщениям, строгости и интуиции», примеров страниц много, упоминания про Кавальери не нашёл. Если пропустил, прошу указать страницу.

Восьмая: аннотация на книгу (ценой, однако, 95 евро). Электронный текст отсутствует.

Девятая: книга автора первой и четвёртой ссылки с тем же контекстом употребления слова method.

Десятая: 65-страничный текст. Словосчетание method of indivisibles даёт один результат: «In 1626 Cavalieri wrote a letter to Galileo informing him that he wished to publish a book on his method of indivisibles».

Надеюсь, Вы не потребуете от меня погружения в остальную двадцать одну тысячу страниц, а просто укажете источник, не ссылающийся на советские энциклопедии, где чёрным по белому будет написано, кто является настоящим автором «Метода неделимых», после чего я немедленно признаю своё поражение. В любом случае, благодарен за невольное подтверждение моей правоты.

Резюмирую: я настаиваю на разделении ПОНЯТИЯ неделимого и МЕТОДА неделимого. И Архимед, и Кеплер и другие великие учёные работали с неделимыми, но не использовали в своих работах словосочетание «Метод неделимых» и не являются его авторами. Далее, никто не говорит об удалении исторического раздела статьи (как Вам в голову пришло такое кощунство?). Это отличный небольшой очерк об истории ПОНЯТИЯ, что Вы сами подтверждаете своими же словами: «поскольку он далеко выходит за пределы принципа Кавальери и рассматривает весь период развития идеи неделимых, включая Архимеда и особенно Кеплера». Подписываюсь. И вполне согласен, что «Неделимое» заслуживает отдельной статьи в категории "История математики"

Впрочем, как это ни печально признавать, но я не питаю особых иллюзий относительно судьбы своих наработок, оказавшейся в руках человека, использующего в философско-математическом рассуждении слово «идеология» - совершенно чуждое Математике понятие, очернённое самыми мерзкими ассоциациями и оскорбляющее самую суть вышней хрустальной красоты Богини наук. Если для Вас советская Математическая энциклопедия 45-летней давности авторитетнее последней версии Британники — ради бога. Bums 15:05, 30 января 2014 (UTC)

Cavalieri had completely developed his method of indivisibles — в своём толковании вы аккуратно обошли наличие местоимения his. А оно ясно обозначает, что Кавальери открыл не метод неделимых, а собственную версию этого метода (иначе на месте his стоял бы просто артикль). В английской Математической энциклопедии (Kluwer Academic Publishers, 2002) утверждается то же самое: «Indivisibles, method of — The common name for a quite varied assortment of devices aimed at determining the relationships between areas or volumes of figures; the name dates from the end of the 16th century…The ideas of the method of indivisibles were revived in mathematical research at the turn of the 16th century into the 17th century by J. Kepler and, especially, by B. Cavalieri, with whose name the method is most frequently associated». Остальные лингвистические экскурсы я позволю себе пропустить, хотя причины, по которым вы заранее отвергаете все советские АИ, заслуживают отдельного интереса.

Несколько мелких замечаний. Кеплер действительно не использовал термина «метод неделимых», но то же относится и к Кавальери. Идея неделимых была ещё у античных атомистов, но без метода она ничего не стоит, разделять эти два понятия можно в физике, но не в математике. Статья НЕДЕЛИМОЕ, если бы она была в Википедии, неизбежно была бы о натурфилософии, а не о математике. «Это отличный небольшой очерк об истории» — спасибо за высокую оценку моего скромного труда. Вас возмутил термин «Идеология», неуместный «в вышней хрустальной красоте Богини наук», но вы напрасно считаете это понятие чисто политическим. Идеология — это просто идейный фундамент произвольной теории: «An ideology is a set of conscious and unconscious ideas that constitute one's goals, expectations, and actions», это в СССР термин опаскудили и политизировали.

Я не требую, чтобы вы, согласно обещанию, «немедленно признали своё поражение», согласно правилам Вики вы имеете право запросить арбитраж или пригласить в качестве посредника одного из уважаемых математиков, таких в Вики немало, и вы с некоторыми уже завязали диалог в Проекте Математика. LGB 16:25, 30 января 2014 (UTC)

Продолжим. Вы написали много интересных тезисов, на которые я пока не готов сходу ответить из-за позднего времени суток и необходимости раннего выхода на работу. Я не подвергаю сомнению Ваше знание английского (простите, если обидел), но прошу допустить возможность упущения некоторых нюансов. Я утверждаю, что местоимение "his" означает именно "своего", а если бы имелась в виду "собственная версия", то было бы написано "his own" (этот момент упоминается в моём предыдущем сообщении, но если неясность остаётся, то прошу Вашего совета, как более опытного участника, по способу чисто лингвистического арбитражного разрешения вопроса).

Благодарю за поднявшую перед сном настроение ссылку на английскую Математическую энциклопедию. Предлагаю открыть в параллельных вкладах текст из БСЭ (или совматэниклопедии, не уверен, нет времени уточнять), сравнить оба текста и решить что чему является первоисточником. Ваше неявное апеллирование к выполнению обещаний считаю недействительным, так как изначально просил "источник, не ссылающийся на советские энциклопедии". Советские АИ я отвергаю исключительно за сроком давности, а если Вас интересуют мои политические убеждения, готов обсудить в личной переписке.

Неиспользование Кавальери термина "метода неделимых" не является фактом. Я видел эту уйму страниц на латыни, некомпетентен для их проработки, и не знаю источников, опровергающих моё утверждение. Впрочем, как и не знал о Вашем авторстве исторического очерка по неделимым. Он замечателен. С уважением, и просьбой подойти с пониманием к поведению новичка в Википедии (что Вы и так успешно делаете), Bums 17:03, 30 января 2014 (UTC)

Я переписал заново преамбулу, сохранив значительную часть ваших правок. Расширенный смысл термина «метод неделимых» (отнесенного не только к трудам Кавальери) восстановил, если вы с этим не согласны, готов продолжить обсуждение. LGB 16:40, 4 февраля 2014 (UTC)

Никаких возражений. Считаю справедливой текущую формулировку, как следование традициям русской математики и в силу непререкаемости для меня Вашего авторитета. Для себя оставляю субъективное отношение к subj, как к принятому на Западе названию принципа Кавальери. Bums 04:31, 5 февраля 2014 (UTC)

Правки Tosha

А теперь посмотрите, что получилось в результате ваших правок.

1. Раньше в статье был логический порядок тем: изложение метода, критика, примеры. Теперь порядок стал какой-то извращённый: критика (в преамбуле!), примеры, изложение метода.
2. Кавальери после переноса абзаца упоминается в преамбуле без викификации и без пояснения, кто он такой, причём в загадочной формулировке «Пример привёл сам Кавальери», подразумевающей, что о нём уже всё подробно сказано.
3. Грамматические ошибки, например: «Возможно независимо к этот метод развивал Роберваль», «является обобщением принцип Кавальери».

Прошу разъяснить причину порчи статьи. LGB 16:50, 30 ноября 2015 (UTC)

1 Говорить "Прошу разъяснить причину порчи статьи" не вежливо. Надо думать по-другому --- ну да Тоша наломал дров, но наверно была причина, а причина была --- статья была плохо написана.

1. Надо начать с метода неделимых, а не с принципа Кавальерии (это разные вещи).
2. Критика относится НЕ к принципу Кавальери, а к методу неделимых
3. 1-ый пример относится к методу неделимых, а не принципу Кавальери
4. Был ещё пяток мелочей которые я сейчас не помню.

Я подправил, в основном вернул как было, но учёл Ваши замечания --Тоша 15:41, 19 декабря 2015 (UTC)

Прошу извинить, если я был слишком резок, но после тех ваших правок статья, даже если и была плохой, стала вовсе безобразной. Да и последняя серия правок вовсе не «учла мои замечания». Снова Кавальери впервые упоминается (в разделе «Пример и Критика») как якобы уже известное из предыдущего текста лицо, и даже не викифицирован. Я внёс минимальные правки, чтобы читатель не чесал в затылке. Прошу также разъяснить, почему вы отделили первый пример от второго — по-моему, они идеологически едины, только второй пример пространственный. И в который раз прошу вас перед крупными правками анонсировать их обсуждение на СО, а смысл менее крупных хотя бы разъяснять в поле описания, и не в стиле «было плохо», а конкретно. LGB 17:09, 19 декабря 2015 (UTC)

Первый пример на метод неделимых, второй на принцип Кавальери (чатный случай с чёткой формулировкой). (Я честно говоря не думал, что кто-то этой статьёй кроме меня интересуется поэтому правил свободно.) --Тоша 17:52, 19 декабря 2015 (UTC)

Про парадокс Кавальери действительно надо писать до принципа Кавальери, так как принцип Кавальери - это способ ограничить метод, чтобы не возникало парадоксов. Только про это надо сказать более четко. Alexei Kopylov 00:43, 20 декабря 2015 (UTC)

Почему вы считаете, что «принцип Кавальери - это способ ограничить метод, чтобы не возникало парадоксов»? У Юшкевича (том 2, стр. 176) говорится, что ясных правил применения метода неделимых Кавальери не дал. В других АИ аналогично. Парадокс Кавальери подрывает все разновидности метода неделимых, если считать их не переменными, как у Ньютона, а актуальными бесконечно малыми. LGB 11:38, 20 декабря 2015 (UTC)

Потому что принцип Кавальери - это верное утверждение, которое можно строго доказать современными методами, и которое не может привести к парадоксам. Хоть Кавальери, и не дает точных правил, когда метод неделимых можно применять, а когда нельзя, свой пародокс он приводит, как пример неправильного пользования своим принципом. Следовательно сам Кавальери считал (и совершено правильно), что его принцип, в отличии от метода неделимых, к таким парадоксом не приведет. Alexei Kopylov 23:01, 21 декабря 2015 (UTC)

Я не встречал в АИ утверждения, что принцип Кавальери можно доказать. Прошу уточнить ссылку. Единственное известное мне доказательство дал Ньютон, но он существенно изменил формулировку, убрав актуальные бесконечно малые. LGB 16:59, 22 декабря 2015 (UTC)

Принцип Кавальери это частный случай формулы коплощади — то есть доказать можно. Кавальери был первым сделал чёткую формулировку — за это мы его и любим. Не знаю доказал ли он её — пусть скажут более сведущие люди. --Тоша 16:56, 23 декабря 2015 (UTC)

Да, именно так. Принцип Кавальери не использует понятия бесконечно малое. По крайне мере, в статье про это не говориться. Он просто утверждает, что если любая плоскость, параллельная данной, пересекает два тела по равной площади, то объемы тел равны. Кавальери не умел ни доказывать свой принцип, ни даже четко объяснить, почему метод неделимых может привести к парадоксу, а этот принцип нет. Об этом и пишет Юшкевич. Но тем не менее его принцип верен и доказуем. Вот пример ссылки: Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Математический анализ. Интегральное исчисление. М.: Просвещение, 1979, - 176 с. С 109-110. Alexei Kopylov 06:35, 28 декабря 2015 (UTC)

Цилиндр:шар:конус

Верно ли, что рассуждение про объемы цилиндра шара и конуса принадлежит Архимеду? (Если да нужно это сказать.) --Тоша 19:42, 19 декабря 2015 (UTC)

Да. Вообще странно, что в статье про метод неделимых, ни слова не говориться про Метод механических теорем, в котором он и введен, а про Архимеда говориться только вскользь. Alexei Kopylov 00:17, 20 декабря 2015 (UTC)

Честно говоря я не вижу разницы, по-моему это два названия для одного и того же. --Тоша 13:29, 20 декабря 2015 (UTC)

Архимед, вполне вероятно, использовал метод неделимых в эвристических целях, то есть для угадывания пределов. Но в своих сохранившихся трудах он строго следовал канону — методу исчерпывания. Объём шара он определил в труде «О шаре и цилиндре» без использования метода неделимых, с помощью аналога интегральных сумм. См. Юшкевича, том 1, стр. 117 и далее. LGB 11:38, 20 декабря 2015 (UTC)

Архимед безусловно использовал метод. Вопрос только в том использовал ли он его в конкретно этой задаче, и если да то есть ли тому доказательства. --Тоша 13:29, 20 декабря 2015 (UTC)

Метод механических теорем - это работа Архимеда (называемая также «Послание к Эратосфену о методе»), найденная сравнительно недавно (в начале XX века). В этой работе Архимед, в отличее от остальных своих трудов, вычисляет площади и объемы не используя строгий метод исчерпывания. У того же Юшкевича на стр. 122 рассказывается, как Архимед вычислял объем шара. Его метод очень похож на тот, который описывается в статье, но не точно он. Архимед рассматривает цилиндр и конус радиусом в два раза больше, и использует принцип рычага. Но основная идея та же - разбиение объема паралельными плоскостями на площади. Alexei Kopylov 22:40, 21 декабря 2015 (UTC)

Спасибо, я сделал изменение. --Тоша 16:52, 23 декабря 2015 (UTC)