Ограниченный оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Оператор A:X\to Y называется ограниченным, если каждое ограниченное множество исходного топологического векторного пространства X он переводит в ограниченное множество топологического векторного пространства Y.[1]

Приведённое выше определение относится как к линейным, так и к нелинейным операторам.


Линейный ограниченный оператор[править | править вики-текст]

Определения[править | править вики-текст]

Для линейного оператора часто приводят другие определения:[1]

  • Будем называть линейный оператор A:X\to Y ограниченным, если существует такая окрестность нуля U, что A(U) является ограниченным множеством в Y.
  • Будем называть линейный оператор A:X\to Y в нормированном пространстве ограниченным, если существует такое положительное число C, что \|Ax\| \le C\|x\|. Наименьшее из таких чисел C обозначают через \|A\| и называют нормой оператора A. Иными словами,
\|A\|=\sup_{\|x\|<1}{\|Ax\|}

Свойства в F-пространствах[править | править вики-текст]

Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха.

Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор.

Литература[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Математическая энциклопедия / Виноградов И.М.. — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 3.
  2. 1 2 Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1. Общая теория. — С. 66-67.