Отображение Шварца — Кристоффеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга \Delta или верхней полуплоскости {\mathbb H}^+) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.

Теорема[править | править вики-текст]

Предположим, что P\subset\mathbb C — некоторый n-угольник, а функция f осуществляет конформное отображение {\mathbb H}^+ на P. Тогда f можно представить в виде

f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^n(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2,

где a_1,\dots,a_n — прообразы вершин P на вещественной оси, \alpha_1,\dots,\alpha_n — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на \pi (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а C_1 и C_2 — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если n-ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^{n-1}(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки a_1,\dots,a_n, как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).