Многоугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Примеры многоугольников

Многоуго́льник — это фигура с n вершинами. Также многоуго́льником называют всякий предмет такой формы.

Многоуго́льник — как геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения многоугольника:

  • Плоская замкнутая ломаная — самый общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений — простой многоугольник;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений.

В любом случае, вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
  • Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.

Виды многоугольников[править | править вики-текст]

  • Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.
Многоугольник, вписанный в окружность
Многоугольник, описанный около окружности
  • Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
    1. Он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
    2. Он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;
    3. Каждая диагональ лежит внутри многоугольника;
    4. Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.
Если некоторые внутренние углы равны 180°, а остальные меньше, то многоугольник называется слабовыпуклым.
  • Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
  • Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна 180^\circ(n-2).
  • Число диагоналей всякого n-угольника равно n(n-3)/2.

Площадь[править | править вики-текст]

  • Пусть \{(X_i,Y_i)\}, i=1,2,...,n последовательность координат соседних друг другу вершин n-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле:
 S = \frac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n (X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})\right|, где (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1).
  • С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость или площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F называется квадрируемой, если для любого \varepsilon>0 существует пара многоугольников P и  Q, такие что P\subset F\subset Q и S(Q)-S(P)<\varepsilon, где S(P) обозначает площадь P.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]