Многоугольник

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения многоугольника:

• Плоская замкнутая ломаная;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
• Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.

Виды многоугольников

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.
  • Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

• Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

• Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
  1. он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
  2. он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;
  3. Каждая диагональ лежит внутри многоугольника;
  4. любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
  • Правильный многоугольник с самопересечениями называется звёздчатым, например, правильные пятиконечная и восьмиконечная звёзды.

• Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

• Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства

• Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна (n − 2)π.
• Число диагоналей всякого n-угольника равно n(n − 3) / 2.

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, поверхность которая составлена из многоугольников или тело ей ограниченное.
• Выпуклый многоугольник
• Правильный многоугольник