Правило Тициуса — Боде

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
И. Д. Тициус
И. Э. Боде

Правило Тициуса — Бо́де (известно также как закон Бо́де) представляет собой эмпирическую формулу, приблизительно описывающую расстояния между планетами Солнечной системы и Солнцем (средние радиусы орбит). Правило было предложено И. Д. Тициусом в 1766 году и получило известность благодаря работам И. Э. Боде в 1772 году.

Формулировка[править | править вики-текст]

Правило формулируется следующим образом.

К каждому элементу последовательности D_i= 0, 3, 6, 12, \dots прибавляется 4, затем результат делится на 10. Полученное число считается радиусом орбиты i-й планеты в астрономических единицах. То есть,

 R_i = {D_i + 4 \over 10}.

Последовательность D_i — геометрическая прогрессия, кроме первого числа. То есть, D_{-1} = 0; D_i = 3 \cdot 2^i, i \geq 0.

Эту же формулу можно записать по-другому:

R_{-1} = 0{,}4,
R_i = 0{,}4 + 0{,}3 \cdot 2^i.

Встречается также другая формулировка:

Для любой планеты расстояние от неё до самой внутренней планеты (Меркурия) в два раза больше, чем расстояние от предыдущей планеты до внутренней планеты:

{R_i - R_\text{Mercury}} = 2 \cdot (R_{i-1} - R_\text{Mercury}).


Результаты вычислений приведены в таблице (где k_i=D_i/3=0,1,2,4,...). Видно, что этой закономерности соответствует и пояс астероидов, а Нептун, напротив, из закономерности выпадает, причём его место занимает Плутон, хотя он, согласно решению XXVI Ассамблеи МАС исключён из числа планет.

Планета i k_i Радиус орбиты (а. е.) \frac{R_i - R_\text{Mercury}}{R_{i-1} - R_\text{Mercury}}
по правилу фактический
Меркурий −1 0 0,4 0,39
Венера 0 1 0,7 0,72
Земля 1 2 1,0 1,00 1,825
Марс 2 4 1,6 1,52 1,855
Пояс астероидов 3 8 2,8 в сред. 2,2—3,6 2,096 (по орбите Цереры)
Юпитер 4 16 5,2 5,20 2,021
Сатурн 5 32 10,0 9,54 1,9
Уран 6 64 19,6 19,22 2,053
Нептун выпадает 30,06 1,579
Плутон 7 128 38,8 39,5 2,078 (по отношению к Урану)
Эрида 8 256 77,2 67,7

Когда Тициус впервые сформулировал это правило, ему удовлетворяли все известные в то время планеты (от Меркурия до Сатурна), имелся лишь пропуск на месте пятой планеты. Тем не менее, правило не привлекло большого внимания до тех пор, пока в 1781 году не был открыт Уран, который почти точно лёг на предсказанную последовательность. После этого Боде призвал начать поиски недостающей планеты между Марсом и Юпитером. Именно в том месте, где должна была располагаться эта планета, была обнаружена Церера. Это вызвало большое доверие к правилу Тициуса — Боде среди астрономов, которое сохранялось до открытия Нептуна. Когда выяснилось, что, кроме Цереры, примерно на том же расстоянии от Солнца находится множество тел, формирующих пояс астероидов, была выдвинута гипотеза, что они образовались в результате разрушения планеты (Фаэтона), которая раньше находилась на этой орбите.

Попытки обоснования[править | править вики-текст]

Правило не имеет конкретного математического и аналитического (через формулы) объяснения, основанного только на теории гравитации, так как не существует общих решений так называемой «задачи трёх тел» (в простейшем случае), или «задачи N тел» (в общем случае). Прямое численное моделирование также затруднено огромным объёмом вычислений.

Одно из вероятных объяснений правила заключается в следующем. Уже на стадии формирования Солнечной системы в результате гравитационных возмущений, вызванных протопланетами и их резонансом с Солнцем (при этом возникают приливные силы, и энергия вращения тратится на приливное ускорение или, скорее, замедление), сформировалась регулярная структура из чередующихся областей, в которых могли или не могли существовать стабильные орбиты согласно правилам орбитальных резонансов (то есть отношение радиусов орбит соседних планет равных 1/2, 3/2, 5/2, 3/7 и т. п.).[1] Впрочем, часть астрофизиков полагает, что это правило — всего лишь случайное совпадение.

Резонансным орбитам сейчас в основном соответствуют планеты или группы астероидов, которые постепенно (за десятки и сотни миллионов лет) выходили на эти орбиты. В случаях, когда планеты (а также астероиды и планетоиды за Плутоном) не расположены на стабильных орбитах (как Нептун) и не расположены в плоскости эклиптики (как Плутон), наверняка в ближайшем (относительно сотен миллионов лет) прошлом имели место инциденты, нарушавшие их орбиты (столкновение, близкий пролёт массивного внешнего тела). Со временем (быстрее к центру системы и медленнее на окраинах системы) они неизбежно займут стабильные орбиты, если им не помешают новые инциденты.

Пояс Койпера и орбитальные резонансы

Наличие стабильных орбит, вызванных резонансами между телами системы, впервые численно смоделировано (компьютерная симуляция движения точечных взаимодействующих масс вокруг резонирующего центра — Солнца, представленного как две точечные массы с упругой связью) и приведено в сравнении с реальными астрономическими данными в работах 1998—1999 годов профессора Рену Малхотра.[источник не указан 30 дней]

Само существование резонансных орбит и само явление орбитального резонанса в нашей планетной системе подтверждается экспериментальными данными по распределению астероидов по радиусу орбиты и плотности объектов KBO пояса Койпера по радиусу их орбиты.

Сравнивая структуру стабильных орбит планет Солнечной системы с электронными оболочками простейшего атома, можно обнаружить некоторое подобие, хотя в атоме переход электрона происходит практически мгновенно только между стабильными орбитами (электронными оболочками), а в планетарной системе выход небесного тела на стабильные орбиты занимает десятки и сотни миллионов лет.

Проверка для спутников планет Солнечной системы[править | править вики-текст]

Три планеты Солнечной системы — Юпитер, Сатурн и Уран — имеют систему спутников, которые, возможно, сформировались в результате таких же процессов, как и в случае самих планет. Эти системы спутников образуют регулярные структуры, на основе орбитальных резонансов, которые, правда, не подчиняются правилу Тициуса — Боде в его первоначальном виде. Однако, как выяснил в 1960-е годы астроном Стенли Дермотт (Stanley Dermott), если немного обобщить правило Тициуса — Боде:

T(n) = T(0) \cdot C^n,\quad n = 1, 2, 3, 4 \ldots,

где T — орбитальный период (дней), то новая формула с хорошей точностью охватывает системы спутников Юпитера, Сатурна и Урана (см. fr:Loi de Dermott):

  • Юпитер: T(0) = 0,444, C = 2,03
Спутник n Результат расчёта Фактически
Jupiter V Амальтея 1 0,9013 0,4982
Jupiter I Ио 2 1,8296 1,7691
Jupiter II Европа 3 3,7142 3,5512
Jupiter III Ганимед 4 7,5399 7,1546
Jupiter IV Каллисто 5 15,306 16,689
Jupiter VI Гималия 9 259,92 249,72
  • Сатурн: T(0) = 0,462, C = 1,59
Спутник n Результат расчёта Фактически
Saturn I Мимас 1 0,7345 0,9424
Saturn II Энцелад 2 1,1680 1,3702
Saturn III Тетис 3 1,8571 1,8878
Saturn IV Диона 4 2,9528 2,7369
Saturn V Рея 5 4,6949 4,5175
Saturn VI Титан 7
8
11,869
18,872
15,945
Saturn VIII Япет 11 75,859 79,330
  • Уран: T(0) = 0,488, C = 2,24
Спутник n Результат расчёта Фактически
Uranus V Миранда 1 1,0931 1,4135
Uranus I Ариэль 2 2,4485 2,5204
Uranus II Умбриэль 3 5,4848 4,1442
Uranus IV Оберон 4 13,463 12,286

Проверка для экзопланет[править | править вики-текст]

Тимоти Боверд (Timothy Bovaird) и Чарльз Лайнвивер (Charles H. Lineweaver) из Австралийского национального университета проверили[2] применимость правила к экзопланетным системам (2013 год). Из известных систем, содержащих по четыре открытых планеты, они отобрали 27 таких, для которых добавление дополнительных планет между известными нарушало бы стабильность системы. Считая отобранные кандидаты полными системами, авторы показали, что для них выполняется обобщенное правило Тициуса — Боде, аналогичное предложенному Дермоттом:

R_{i} = R \cdot C^i,\quad i = 0, 1, 2, 3, ...,

где R и C — параметры, обеспечивающие наилучшее приближение к наблюдаемому распределению.

Было обнаружено, что из 27 отобранных для анализа систем 22 системы удовлетворяют взаимным соотношениям радиусов орбит даже лучше, чем Солнечная система, 2 системы подходят под правило примерно как Солнечная, у 3 систем правило работает хуже Солнечной.

Для 64 систем, которые по выбранному критерию не были полными, авторы попытались предсказать орбиты ещё не открытых планет. Всего ими сделано 62 предсказания с помощью интерполяции (в 25 системах) и 64 — с помощью экстраполяции. Оценка максимальных масс планет, сделанная по чувствительности приборов, с помощью которых были открыты эти системы экзопланет, показывает, что некоторые из предсказанных планет должны быть земного типа.

Согласно проверке Chelsea X. Huang и Gáspár Á. Bakos (2014 г.), для экзопланет соотношение Тициуса — Боде в среднем не работает и, таким образом, его предсказательная сила под вопросом[3].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ньето М. Закон Тициуса-Боде. История и теория. М.: Мир, 1976.
  • Планетарные орбиты и протон. «Наука и жизнь» № 1, 1993.
  • Hahn, J.M., Malhotra, R. Orbital evolution of planets embedded in a massive planetesimal disk, AJ 117:3041-3053 (1999)
  • Malhotra, R. Migrating Planets, Scientific American 281(3):56-63 (1999)
  • Malhotra, R. Chaotic planet formation, Nature 402:599-600 (1999)
  • Malhotra, R. Orbital resonances and chaos in the Solar system, in Solar System Formation and Evolution, Rio de Janeiro, Brazil, ASP Conference Series vol. 149 (1998). Preprint
  • Showman, A., Malhotra, R. The Galilean Satellites, Science 286:77 (1999)

Ссылки[править | править вики-текст]