Признак совпадения пределов

Признак совпадения пределов. Если существуют двойной предел и при каждом $n$ предел $\lim _{m\to \infty }s_{n,m}$, то повторный предел существует и совпадает с двойным:

$\lim _{n,m\to \infty }s_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }s_{n,m}.\qquad (*)$

Доказательство

Если $\varepsilon >0,$ то для достаточно больших $n$ и $m$ выполняется $s-\,\varepsilon \leqslant s_{n}$_$m$$\leqslant s+\varepsilon .$ Перейдём в этом неравенстве к пределу при $m\rightarrow \infty$ и получим $s-\,\varepsilon \leqslant \lim _{m\to \infty }s_{n}$_$m$$\leqslant s+\varepsilon .$ Откуда и следует $(*).$

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.