Производная Лагранжа

Производная Лагранжа, также известная как субстанциональная производная, — это производная, взятая в зависимости от системы координат, движущейся со скоростью u и часто используемая в гидроаэромеханике и классической механике. Она определена как от скалярной функции $\phi(\vec{r},t)$ координат и времени, так и от векторной $\vec{v}(\vec{r},t)$:

$\frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi$

$\frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{v}$

где $\nabla$ — это оператор набла, а $\frac{\partial}{\partial t}$ обозначает частную производную по t. Второе слагаемое есть конвективная производная данной функции.

Верно следующее тождество, когда берётся производная Лагранжа от интеграла:

$\frac{D}{Dt}\int\limits_{V(t)} f(\mathbf{x})\, dV = \int\limits_{V(t)} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \nabla\cdot(f\mathbf{u}) \right) \, dV = \int\limits_{V(t)} \left( \frac{Df}{Dt} + f ( \nabla\cdot\mathbf{u} ) \right) \, dV$

Доказательство

Доказательство через правило дифференцирования сложных функций для частных производных. В тензорной нотации (с соглашением суммирования Эйнштейна), можно записать:

$\left[\frac{d\mathbf{B}}{dt}\right]_j = \frac{d}{d t} \hat{B_j}(t, x_i(t)) = \frac{\partial B_j}{\partial t} + \frac{\partial B_j}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t} = \frac{\partial B_j}{\partial t} + \frac{\partial x_i}{\partial t} \frac{\partial}{\partial x_i} B_j = \frac{\partial B_j}{\partial t} + \left[(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{B}\right]_j$

См. также

• Конвективная производная
• Субстанциональная производная