Производная Фреше

Произво́дная Фреше́ (сильная производная) — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

Определение

Пусть $F\colon X\rightarrow Y$ — оператор, действующий из некоторого вещественного банахова пространства $X$ в вещественное банахово пространство $Y$.

Производной Фреше оператора $F$ в точке $x\in X$ называется ограниченный линейный оператор $A\colon X\rightarrow Y$, такой, что для любого $h\in X$ выполняется следующее равенство:

$F(x+h)-F(x)=Ah+r_{0}(x,\;h),$

причем для остаточного члена $r_{0}(x,\;h)$ верно соотношение:

${\frac {\|r_{0}(x,\;h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}\rightarrow 0$ при $\|h\|_{X}\rightarrow 0.$

Если производная Фреше существует, то оператор $F$ называется сильно дифференцируемым. Линейная часть приращения $Ah$ в таком случае именуется дифференциалом Фреше функции $F$.

Можно показать, что производная Фреше, в том случае, когда она существует, совпадает с производной Гато.

Свойства

Пусть $f,g:G\rightarrow Y$ — отображения нормированных пространств. Тогда производная Фреше удовлетворяет:

• $(f+g)'(\varphi )=f'(\varphi )+g'(\varphi )$
• $(\lambda f)'(\varphi )=\lambda f'(\varphi )$, где λ — некий скаляр из поля над которым определены нормированные пространства.
• $(f\circ g)'(\varphi )=(f'\circ g)(\varphi )\,g'(\varphi )$.

См. также

• Производная (обобщения)
• Производная Гато

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.