Производная Фреше

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Произво́дная Фреше́ (сильная производная) — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть F\colon X\rightarrow Y — оператор, действующий из некоторого вещественного банахова пространства X в вещественное банахово пространство Y.

Производной Фреше оператора F в точке x\in X называется линейный оператор A\colon X\rightarrow Y, такой, что для любого h\in X выполняется следующее равенство:

F(x+h)-F(x)=Ah+r_0(x,\;h),

причем для остаточного члена r_0(x,\;h) верно соотношение:

\frac{\|r_0(x,\;h)\|_Y}{\|h\|_X}\rightarrow 0 при \|h\|_X\rightarrow 0.

Если производная Фреше существует, то оператор F называется сильно дифференцируемым. Линейная часть приращения Ah в таком случае именуется дифференциалом Фреше функции F.

Можно показать, что производная Фреше, в том случае, когда она существует, совпадает с производной Гато.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.