Псевдогруппа преобразований

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Псевдогруппа преобразований гладкого многообразия M — семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия M в M, замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений.

Точное определение[править | править вики-текст]

Псевдогруппа преобразований \Gamma многообразия M состоит из локальных преобразований, то есть пар вида p=(D_p,\bar p), где D_p — открытое подмножество в M, а \bar p — диффеоморфизм D_p\to M, причём предполагается, что

  1. p,q\in\Gamma \Rightarrow p\circ q=(\bar q^{-1}(D_p\cap \bar q(D_q)),\bar p\circ \bar q)\in \Gamma
  2. p\in\Gamma\Rightarrow p^{-1}=(\bar p(D_p),\bar p^{-1})\in\Gamma
  3. (M,id) \in \Gamma,
  4. если p — диффеоморфизм открытого подмножества D в M и D=\cup_\alpha D_\alpha, где D_\alpha — открытые подмножества в M, то (D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_\alpha,p)\in \Gamma для любого \alpha.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Произвольное гладкое действие группы на многообразии.
  • Пусть M гладкое многообразие и на котором гладко действует группа G тогда «сужение» действия на произвольное открытое множество \Omega является псевдогруппой преобразований. Точнее p=(D_p,\bar p) содержится в псевдогруппе если \bar p\in G и D_p, \bar p(D_p)\subset \Omega.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Так же, как группа преобразований, псевдогруппа преобразований определяет на M отношение эквивалентности; классы эквивалентности называются ее орбитами.

Типы псевдогрупп[править | править вики-текст]

Псевдогруппа преобразований \Gamma многообразия M называется

  • транзитивной, если M — её единственная орбита,
  • примитивной, если в M нет нетривиальных гладких \Gamma-инвариантных слоений (в противном случае псевдогруппа преобразований называется импримитивной).

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Видоизменяя должным образом это определение, можно определить псевдогруппу преобразований произвольного топологического пространства или даже произвольного множества.

Литература[править | править вики-текст]

  • Виноградов И.М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730-732.