Отношение эквивалентности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Отношение эквивалентности ( $\sim$ ) на множестве $X$ — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

Рефлексивность: $\,a \sim a$ для любого $a$ в $X$ ,
Симметричность: если $\,a \sim b$ , то $\,b \sim a$ ,
Транзитивность: если $\,a \sim b$ и $\,b \sim c$ , то $\,a \sim c$ .

Запись вида « $\,a \sim b$ » читается как « $a$ эквивалентно $b$ ».

[править] Связанные определения

Классом эквивалентности $C (a)$ элемента $a$ называется подмножество элементов, эквивалентных $a$ . Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если $b \in C(a)$ , то $C (a) = C (b)$ .

Множество всех классов эквивалентности обозначается $X/\sim$ .

Множество классов эквивалентности по отношению $\sim$ является разбиением множества.

[править] Примеры отношений эквивалентности

Равенство (« $\;=$ »), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
В Евклидовой геометрии
- Отношение конгруэнтности (« $\cong$ »).
- Отношение подобия (« $\ \sim$ »).
- Отношение параллельности прямых (« $\|$ »).

[править] Факторизация отображений

Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности $\sim$ , обозначается символом $X / ˜$ и называется фактормножеством относительно $\sim$ . При этом сюръективное отображение

$p\colon x \mapsto C_x$