Отношение эквивалентности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Отношение эквивалентности (\sim) на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

  1. Рефлексивность: \,a \sim a для любого a в X,
  2. Симметричность: если \,a \sim b, то \,b \sim a,
  3. Транзитивность: если \,a \sim b и \,b \sim c, то \,a \sim c.

Запись вида «\,a \sim b» читается как «a эквивалентно b».

Связанные определения[править | править вики-текст]

Классом эквивалентности C(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если b \in C(a), то C(a) = C(b).

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества X по заданному отношению \sim, обозначается X/{\sim}.

Для класса эквивалентности элемента a используются следующие обозначения: [a], a / {\sim}, \overline{a}.

Множество классов эквивалентности по отношению \sim является разбиением множества.

Примеры отношений эквивалентности[править | править вики-текст]

Факторизация отображений[править | править вики-текст]

Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности \sim, обозначается символом X/{\sim} и называется фактор-множеством относительно \sim. При этом сюръективное отображение

p\colon x \mapsto C_x

называется естественным отображением (или канонической проекцией) X на фактор-множество X/{\sim}.

Пусть X, Y — множества, f\colon X \to Y — отображение, тогда бинарное отношение x \, {R_f} \,y определённое правилом

x \mathop{R_f} y \iff f(x) = f(y), \quad x, y \in X

является отношением эквивалентности на X. При этом отображение f индуцирует отображение \overline{f}\colon X/R_f \to Y, определяемое правилом

\overline{f}(C_x) = f(x)

или, что то же самое,

(\overline{f}\circ p)(x) = f(x).

При этом получается факторизация отображения f на сюръективное отображение p и инъективное отображение \overline{f}.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
  • А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.