Спектральная плотность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс x(t) имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

X(f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i2 \pi f t} dt. (1)

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

E_x=\int\limits_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df. (2)

Функция ~S_x(f)=|X(f)|^2 характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x(t), реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

S_x(f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)e^{-i2 \pi f \tau} d \tau. (3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной S_x(f) определяет k_x(\tau):

k_x(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)e^{i2 \pi f \tau} df. (4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f=0 и \tau=0, имеем

S_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)d \tau, (5)

\sigma_x^2=k_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)df. (6)

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S_x(f)df можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f-df/2 до f+df/2. Если понимать под x(t) случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S_x(f) будет иметь размерность энергии [В2/Гц] = [В2с]. Поэтому S_x(f) иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: \sigma_x^2 – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S_x(f) называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности[править | править вики-текст]

  • Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

S_x(f) \ge 0. (7)
  • Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

~S_x(-f)=S_x(f). (8)
  • Корреляционная функция k_x(\tau) и энергетический спектр S_x(f) стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр S_x(f) тем «уже» корреляционная функция k_x(\tau), и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Зюко, А. Г. Теория передачи сигналов / А. Г. Зюко [и др.]. — М.: Связь, 1980. — 288 с.
  2. Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. — М.: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2.
  3. Тихонов, В. И. Статистическая теория радиотехнических устройств / В. И. Тихонов, Ю. Н. Бакаев. — М.: Академия им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.