Преобразование Фурье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию по базисным функциям, в качестве которых выступают синусоидальные (или мнимые экспоненты) функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид (мнимых экспонент) различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.

В математике под преобразованиями Фурье принято также понимать любые преобразования представления бесконечномерного вектора при смене одного ортогонального базиса на другой. Например, разложение функции не обязательно по синусоидальному базису, но и по любому полному базису ортогональных нормируемых функций. Все основные формулы при этом полностью аналогичны формулам для синусоидального базиса. Важно, что полный ортогональный базис нередко бывает сравнительно нетрудно построить, причем еще и специально подходящий для конкретной задачи. Для этого достаточно взять все собственные функции линейного оператора весьма широкого класса (для синусов и косинусов таким оператором является оператор дифференцирования второго порядка), для одномерного случая — см. Задача Штурма — Лиувилля.

Содержание

[править] Применения преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

  • Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

[править] Разновидности преобразования Фурье

[править] Многомерное преобразование Фурье

Как непрерывное, так и дискретное преобразование Фурье, описываемые для функций одного скалярного аргумента ниже, имеют и многомерную форму, то есть форму для функций нескольких (конечного числа) аргументов или для функций векторного аргумента.

Наиболее простым и прямым аналогом описываемых ниже одномерных преобразований явлется разложение по плоским волнам:

F(\vec k) = N_1 \int f(\vec x) e^{-i \vec k \cdot \vec x}\,d^n x

Здесь n — размерность пространства аргумента, F — фурье-образ функции f, N1 — постоянный нормирующий множитель, \vec x — n-мерный векторный аргумент функции f, \vec k — n-мерный волновой вектор, аргумент функции F, точкой обозначено их скалярное произведение (в простейшем случае — сумма произведений их соответствующих компонент), dnx — обозначение элемента n-мерного объема области интегрирования, в простейшем случае равное dx1dx2dx3…

Обратное преобразование при этом выглядит так:

f(\vec x) = N_2 \int F(\vec k) e^{i \vec k \cdot \vec x}\,d^n k

Область интегрирования в обоих интегралах n-мерная, в простейшем случае совпадает со всем пространством. Постоянные множители N1 и N2 подбирают обычно так, чтобы N2 было равно единице или чтобы N1 = N2 (ортонормированный базис).

На случай комплекснозначных и векторнозначных функций обобщение достаточно просто: каждая компонента векторнозначной функции преобразуется отдельно, так же можно поступить при желании и с действительной и мнимой частью комплекснозначной функции.

Многомерное преобразование Фурье может быть и дискретным, которое проще всего получается для f на конечной области в форме параллелепипеда, согласованного с осями координат. Для областей другой формы многомерное дискретное преобразование Фурье возможно при выборе несинусоидальных базисных функций.

[править] Непрерывное преобразование Фурье

Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию f(t) как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами ω и комплексными амплитудами F(\omega)=\mathcal{F}(f)(t). Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

F_1(\nu) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{ -2\pi i\nu\tau}\,d\tau,
F_2(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-i\omega\tau}\,d\tau=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),
F_3(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-i\omega\tau}\,d\tau=F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),

где ω = 2πν.

В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).

См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

[править] Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области f(x) (с периодом 2π), и представляют эти функции как ряды синусоид:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx},

где Fn — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],

где an и bn — (действительные) амплитуды ряда Фурье.

[править] Дискретное преобразование Фурье

Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции xk, которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет xk как сумму синусоид:

x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{2\pi ijk/n} \quad \quad k = 0,\;\dots,\;n-1,

где fj — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует \operatorname{O}(n^2) операций, этот расчет может быть сделан за \operatorname{O}(n\log n) операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.

[править] Оконное преобразование Фурье

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:

F(t,\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,

где F(t,\;\omega) даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала f(t) в окрестности времени t.

[править] Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором xk определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.

[править] Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где ω — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (ω), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

[править] Таблица важных преобразований Фурье

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье F(ω) и G(ω) обозначают фурье компоненты функций f(t) и g(t), соответственно. f и g должны быть интегрируемыми функциями или обобщенными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как \sqrt{2\pi}, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).


  Функция Образ Примечания
1 a f(t) + b g(t)\, a F(\omega) + b G(\omega)\, Линейность
2 f(t - a)\, e^{- i\omega a} F(\omega)\, Запаздывание
3 e^{ iat} f(t)\, F(\omega - a)\, Частотный сдвиг
4 f(a t)\, |a|^{-1} F \left( \frac{\omega}{a} \right)\, Если a\, большое, то f(a t)\, сосредоточена около 0 и |a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\, становится плоским
5 \frac{d^n f(t)}{dt^n}\, (i\omega)^n F(\omega)\, Свойство преобразования Фурье от n-й производной
6 t^n f(t)\, i^n \frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\, Это обращение правила 5
7 (f * g)(t)\, \sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)\, Запись f * g\, означает свёртку f\, и g\,. Это правило — теорема о свёртке
8 f(t) g(t)\, (F * G)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, Это обращение 7
9 \delta(t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, \delta(t)\, означает дельта-функцию Дирака
10 1\, \sqrt{2\pi}\delta(\omega)\, Обращение 9.
11 t^n\, i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, Здесь, n\, — натуральное число, \delta^n(\omega)\, — n-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12 e^{i a t}\, \sqrt{2 \pi} \delta(\omega - a)\, Следствие 3 и 10
13 \cos (a t)\, \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{2}\, Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера \cos(a t) = \frac{1}{2} \left( e^{i a t} + e^{-i a t}\right)\,
14 \sin( at)\, \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{2i}\, Также из 1 и 12
15 \exp(-a t^2)\, \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\, Показывает, что функция Гаусса \exp(-t^2/2)\, совпадает со своим изображением
16 W \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{sinc}(W t)\, \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 W}\right)\, Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и sinc функция её временной эквивалент
17 \frac{1}{t}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\, Здесь \sgn(\omega)\, — sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10
18 \frac{1}{t^n}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\, Обобщение 17
19 \sgn(t)\, \sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\, Обращение 17
20 \sqrt{2\pi}\mathrm{H}(t)\, \frac{1}{i\omega} + \pi\delta(\omega)\, Здесь \mathrm{H}(t)\, — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

[править] Литература

Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (также доступна в Сети: [1])

[править] См. также

[править] Ссылки

Интегральные преобразования

Преобразование Абеля | Преобразования Бесселя | Преобразование Бушмана | Преобразование Гильберта | Преобразование Конторовича—Лебедева | Преобразование Лапласа | Преобразование Мейера | Преобразование Мелера-Фока | Преобразование Меллина | Преобразование Нерейна | Преобразование Радона | Преобразование Стильтьеса | Преобразование Фурье | Преобразование Хартли | Преобразование Хенкеля

 
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5»