Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции $f$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx.$

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «−» в показателе экспоненты. Но все свойства будут те же, хотя вид некоторых формул может измениться.

Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия (см. ниже).

Свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса $L_1(\R)$, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

$\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.$

• Справедливо равенство Парсеваля: если $f\in L_1(\R)\cap L_2(\R)$, то преобразование Фурье сохраняет $L_2$-норму:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,dw.$

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство $L_2(\R)$. Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех $f\in L_2(\R)$.

• Формула обращения:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(w)e^{ix\omega}\,dw$

справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция $f$ является достаточно гладкой. Если $f\in L_2(\R)$, то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний $e^{i\omega x}$ с частотами $\omega$, амплитудами $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}|\hat{f}(\omega)|$ и фазовыми сдвигами $\arg \hat{f}(\omega)$ соответственно.

• Теорема о свёртке: если $f,\;g\in L_1(\R)$, тогда

$\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f}\widehat{g}$, где

$(f\ast g)(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)\,ds.$

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если $f,\;f'\in L_1(\R)$, то

$\widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.$

Из этой формулы легко выводится формула для $n$-й производной:

$\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.$

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

$\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(w).$

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией $\delta(x-x_0)$, а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

$\widehat{f(ax)}=|a|^{-1}\hat{f}(w/a).$

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

$S(\mathbb R):=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb R):\forall n,\;m\in\N\;x^n\varphi^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\infty}0\right\}.$

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство $S^*(\R)$. Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции $f\in S^*(\R)$ её преобразованием Фурье называется обобщённая функция $\hat{f}\in S^*(\R)$, действующая на основные функции по правилу

$\langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.$

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:

$\langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta,\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\;\varphi\right\rangle.$

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.

Применения

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина).
• Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

Разновидности

Многомерное преобразование

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве $\R^n$, определяется формулой

$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx.$

Здесь $\omega$ и $x$ — векторы пространства $\R^n$, $x\cdot\omega$ — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой

$f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}\hat{f}(\omega)e^{ix\cdot\omega}\,d\omega.$

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции $f$ в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида $e^{ix\cdot\omega}$ с амплитудами $\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}|\hat{f}(\omega)|$, частотами $\omega$ и фазовыми сдвигами $\arg\hat{f}(\omega)$ соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

$\widehat{\frac{\partial f}{\partial x_k}}=i\omega_k\hat{f}(\omega).$

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

$\widehat{(f\ast g)}=(2\pi)^{n/2}\hat{f}\hat{g}.$

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

$\widehat{\left(f\left(\frac{x}{|a|}\right)\right)}=|a|^n\hat{f}(\omega|a|).$

• Более общо, если $A:\R^n\to\R^n$ — обратимое линейное отображение, то

$\widehat{\left(f(Ax)\right)}=|\det(A)|^{-1}\hat{f}(A^{-1}\omega).$

Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для $2\pi$-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\,e^{inx}.$

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой $2\pi$-периодической функции имеем

$\hat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\delta(\omega-n).$

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть $x_0,\;x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}$ — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен $f(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+\ldots+x_{n-1}t^{n-1}$. Выберем какие-нибудь $n$ точек на комплексной плоскости $z_0,\;z_1,\;\ldots,\;z_{n-1}$. Теперь многочлену $f(t)$ мы можем сопоставить новый набор из $n$ чисел: $f_0:=f(z_0),\;f_1:=f(z_1),\;\ldots,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})$. Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел $f_0,\;f_1,\;\ldots,\;f_{n-1}$ существует единственный многочлен $f(t)$ степени не выше $n-1$ с такими значениями в $z_0,\;\ldots,\;z_{n-1}$ соответственно(см. Интерполяция).

Набор $\{f_k\}$ и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора $\{x_k\}$. В качестве точек $z_k$ обычно выбирают корни $n$-й степени из единицы:

$z_k=e^\frac{2\pi ik}{n}$.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины $n$ напрямую требует порядка $n^2$ операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за $O(n\log n)$ операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка $n$ операций.

Оконное преобразование

$F(t,\;\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)W(\tau-t)e^{-i\omega\tau}\,d\tau,$

где $F(t,\;\omega)$ даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала $f(t)$ в окрестности времени $t$.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию $W$, эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов окон. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором $x_k$ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где $\omega$ — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция $f$ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции $F$ представляет амплитуды соответствующих частот ($\omega$), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Важные формулы

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье $F(\omega)$ и $G(\omega)$ обозначают фурье компоненты функций $f(t)$ и $g(t)$, соответственно. $f$ и $g$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Соотношения в этой таблице и в особенности множители, такие как $\sqrt{2\pi}$, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

	Функция	Образ	Примечания
1	$af(t)+bg(t)\,$	$aF(\omega)+bG(\omega)\,$	Линейность
2	$f(t-a)\,$	$e^{-i\omega a}F(\omega)\,$	Запаздывание
3	$e^{iat}f(t)\,$	$F(\omega-a)\,$	Частотный сдвиг
4	$f(at)\,$	$|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\,$	Если $a$ большое, то $f(at)$ сосредоточена около 0 и $|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$ становится плоским
5	$\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,$	$(i\omega)^n F(\omega)\,$	Свойство преобразования Фурье от $n$-й производной
6	$t^n f(t)\,$	$i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\,$	Это обращение правила 5
7	$(f*g)(t)\,$	$\sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)\,$	Запись $f*g$ означает свёртку $f$ и $g$. Это правило — теорема о свёртке
8	$f(t)g(t)\,$	$\frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}\,$	Это обращение 7
9	$\delta(t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$\delta(t)$ означает дельта-функцию Дирака
10	$1\,$	$\sqrt{2\pi}\delta(\omega)\,$	Обращение 9.
11	$t^n\,$	$i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)\,$	Здесь, $n$ — натуральное число, $\delta^{(n)}(\omega)$ — $n$-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12	$e^{iat}\,$	$\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\,$	Следствие 3 и 10
13	$\cos(at)\,$	$\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,$	Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера $\cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,$
14	$\sin(at)\,$	$\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\,$	Также из 1 и 12
15	$\exp(-at^2)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,$	Показывает, что функция Гаусса $\exp(-t^2/2)$ совпадает со своим изображением
16	$W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\,$	$\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\,$	Прямоугольная функция — идеальный фильтр нижних частот и функция sinc(x) — её временной эквивалент
17	$\frac{1}{t}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$	Здесь $\sgn(\omega)\,$ — функция sgn. Это правило согласуется с 6 и 10
18	$\frac{1}{t^n}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\,$	Обобщение 17
19	$\sgn(t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,$	Обращение 17
20	$\sqrt{2\pi}\theta(t)\,$	$\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)\,$	Здесь $\theta(t)\,$ — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

См. также

• Ортогональные функции
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Вейвлет
• Чирплет
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Гильбертово пространство

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
• Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7
• Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1
• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9
• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1

Ссылки

• Интегральные преобразования EqWorld: Мир математических уравнений
• Online Computation of the transform or inverse transform