Преобразование Фурье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:

\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx.

Отметим, что разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведенного выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «-» в показателе экспоненты. Все свойства в этом случае будут аналогичны, хотя вид каких-то формул может измениться.

Кроме этого, существуют разнообразные обобщения этого понятия, которые будут приведены ниже.

Содержание

[править] Определения, основные свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса L_1(\R), преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций, и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.
\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,dw.

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство L_2(\R). Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех f\in L_2(\R).

  • Формула обращения:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(w)e^{ix\omega}\,dw

справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция f является достаточно гладкой. Если f\in L_2(\R), то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний eiωx с частотами ω, амплитудами \frac{1}{\sqrt{2\pi}}|f(\omega)| и фазовыми сдвигами argf(ω) соответственно.

  • Теорема о свертке: если f,\;g\in L_1(\R), тогда
\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f}\widehat{g}, где
(f\ast g)(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)\,ds.

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

  • Преобразование Фурье и дифференцирование. Если f,\;f'\in L_1(\R), то
\widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.

Из этой формулы легко выводится формула для n-й производной:

\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

  • Преобразование Фурье и сдвиг.
\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(w).

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функций δ(xx0), а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

  • Преобразование Фурье и растяжение.
\widehat{f(ax)}=|a|^{-1}\hat{f}(w/a).
  • Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):
S(\mathbb{R}):=\left\{\varphi\in C^{\infty}(R):\forall n,\;m\in\N\;x^nf^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\pm\infty}0\right\}.

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство S^*(\R). Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции f\in S^*(\R) её преобразованием Фурье называется обобщённая функция \hat{f}\in S^*(\R), действующая на основные функции по правилу

\langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:

\langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta,\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\;\varphi\right\rangle.

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа \frac{1}{\sqrt{2\pi}}.

[править] Применения преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть, обратимый переход от временно́го пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

[править] Разновидности преобразования Фурье

[править] Многомерное преобразование Фурье

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве \R^n, определяется формулой

\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx.

Здесь ω и x — векторы пространства \R^n, x\cdot\omega — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой

f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}\hat{f}(\omega)e^{ix\cdot\omega}\,d\omega.

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции f в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида e^{ix\cdot\omega} с амплитудами \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}|\hat{f}(\omega)|, частотами ω и фазовыми сдвигами \arg\hat{f}(\omega) соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

  • Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:
\widehat{\frac{\partial f}{\partial x_k}}=i\omega_k\hat{f}(\omega).
  • Изменяется константа в теореме о свёртке:
\widehat{(f\ast g)}=(2\pi)^{n/2}\hat{f}\hat{g}.
  • Преобразование Фурье и сжатие координат:
\widehat{\left(f\left(\frac{x}{|a|}\right)\right)}=|a|^n\hat{f}(\omega|a|).
\widehat{\left(f(Ax)\right)}=|\det(A)|^{-1}\hat{f}(A^{-1}\omega).

[править] Ряды Фурье

Основная статья: Ряд Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для -периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\,e^{inx}.

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой -периодической функции имеем

\hat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\delta(\omega-n).

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.

[править] Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть x_0,\;x_1,\;\ldots,\;x_{n-1} — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен f(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+\ldots+x_{n-1}t^{n-1}. Выберем какие-нибудь n точек на комплексной плоскости z_0,\;z_1,\;\ldots,\;z_{n-1}. Теперь многочлену f(t) мы можем сопоставить новый набор из n чисел: f_0:=f(z_0),\;f_1:=f(z_1),\;\ldots,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1}). Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел f_0,\;f_1,\;\ldots,\;f_{n-1} существует единственный многочлен f(t) степени не выше n − 1 с такими значениями в z_0,\;\ldots,\;z_{n-1} соответственно(см. Интерполяция).

Набор {fk} и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора {xk}. В качестве точек zk обычно выбирают корни n-й степени из единицы:

z_k=e^\frac{2\pi ik}{n}.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины n напрямую требует порядка n2 операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за O(nlogn) операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка n операций.

[править] Оконное преобразование Фурье

F(t,\;\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)W(\tau-t)e^{-i\omega\tau}\,d\tau,

где F(t,\;\omega) даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала f(t) в окрестности времени t.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию W, эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

[править] Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором xk определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщённых обоснований преобразования Фурье.

[править] Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов, преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где ω — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (ω), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

[править] Таблица важных преобразований Фурье

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье F(ω) и G(ω) обозначают фурье компоненты функций f(t) и g(t), соответственно. f и g должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как \sqrt{2\pi}, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).


  Функция Образ Примечания
1 af(t)+bg(t)\, aF(\omega)+bG(\omega)\, Линейность
2 f(t-a)\, e^{-i\omega a}F(\omega)\, Запаздывание
3 e^{iat}f(t)\, F(\omega-a)\, Частотный сдвиг
4 f(at)\, |a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\, Если a большое, то f(at) сосредоточена около 0 и |a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right) становится плоским
5 \frac{d^n f(t)}{dt^n}\, (i\omega)^n F(\omega)\, Свойство преобразования Фурье от n-й производной
6 t^n f(t)\, i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\, Это обращение правила 5
7 (f*g)(t)\, \sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)\, Запись f * g означает свёртку f и g. Это правило — теорема о свёртке
8 f(t)g(t)\, \frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}\, Это обращение 7
9 \delta(t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, δ(t) означает дельта-функцию Дирака
10 1\, \sqrt{2\pi}\delta(\omega)\, Обращение 9.
11 t^n\, i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)\, Здесь, n — натуральное число, δn(ω) — n-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12 e^{iat}\, \sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\, Следствие 3 и 10
13 \cos(at)\, \sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\, Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера \cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,
14 \sin(at)\, \sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\, Также из 1 и 12
15 \exp(-at^2)\, \frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\, Показывает, что функция Гаусса exp( − t2 / 2) совпадает со своим изображением
16 W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\, \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\, Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и функция sinc(x) — её временной эквивалент
17 \frac{1}{t}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\, Здесь \sgn(\omega)\, — sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10
18 \frac{1}{t^n}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\, Обобщение 17
19 \sgn(t)\, \sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\, Обращение 17
20 \sqrt{2\pi}\mathrm{H}(t)\, \frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)\, Здесь \mathrm{H}(t)\, — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

[править] Литература

  • Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9
  • М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. — СПб: 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1

[править] См. также

[править] Ссылки