Стохастическая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятности — это матрица, чьи строки или колонки дают в сумме единицу.

Определения[править | править исходный текст]

  • Матрица P = (P_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если
P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots и \sum\limits_{j=1}^{\infty} P_{ij} = 1, \quad \forall i.
  • Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если
P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots и \sum\limits_{i=1}^{\infty} P_{ij} = 1,\quad \forall j.

Замечание[править | править исходный текст]

Стохастическая матрица справа является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если P и Q — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение R = P Q также является матрицей стохастической слева (справа, дважды).

Регулярная стохастическая матрица[править | править исходный текст]

Конечная стохастическая матрица P = (P_{ij}),\; i,j=1,\ldots, N называется регуля́рной, если существует такое n \in \mathbb{N}, что

p^{(n)}_{ij} > 0,\quad \forall i,j=1,\ldots,N,

где p^{(n)}_{ij} — элементы n-ой степени матрицы P, то есть P^n = \left(p^{(n)}_{ij}\right).

Эргодическая теорема[править | править исходный текст]

Если P — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор \mathbf{\pi} = (\pi_1,\ldots,\pi_N) такой, что

P^n \to \mathbf{1}^{\top} \mathbf{\pi},

где \mathbf{1} = (1,\ldots, 1) — вектор размерности N \times 1, состоящий из единиц.