Стохастическая матрица

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице.

Определения

• Матрица $P=(P_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$ называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если

$P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$ и $\sum \limits _{j=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall i$.

• Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если

$P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$ и $\sum \limits _{i=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall j$.

• Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

Замечание

Стохастическая справа матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

Свойства

• Если $P$ и $Q$ — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение $R=PQ$ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды). Доказательство. Пусть A, B — стохастические матрицы, C = AB. Очевидно, что все элементы матрицы C неотрицательны. Возьмём любое j = 1....n. Тогда $\sum _{i=1}^{n}c_{ij}=\sum _{i=1}^{n}(\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}(\sum _{i=1}^{n}a_{ik})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}=1$ , поскольку матрицы A и B стохастические.

Регулярная стохастическая матрица

Конечная стохастическая матрица $P=(P_{ij}),\;i,j=1,\ldots ,N$ называется регуля́рной, если существует такое $n\in \mathbb {N}$, что

$p_{ij}^{(n)}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N$,

где $p_{ij}^{(n)}$ — элементы $n$-ой степени матрицы $P$, то есть $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$.

Эргодическая теорема

Если $P$ — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор $\mathbf {\pi } =(\pi _{1},\ldots ,\pi _{N})$ такой, что

$P^{n}\to \mathbf {1} ^{\top }\mathbf {\pi }$,

где $\mathbf {1} =(1,\ldots ,1)$ — вектор размерности $1\times N$, состоящий из единиц.