Цепь Маркова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример цепи с двумя состояниями

Це́пь Ма́ркoва — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Названа в честь А. А. Маркова (старшего).

Цепь Маркова с дискретным временем[править | править исходный текст]

Определение[править | править исходный текст]

Последовательность дискретных случайных величин \{X_n\}_{n \geqslant 0} называется простой цепью Маркова (с дискретным временем), если

\mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n, X_{n-1} = i_{n-1},\ldots,  X_0 = i_0) = \mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n).

Таким образом, в простейшем случае условное распределение последующего состояния цепи Маркова зависит только от текущего состояния и не зависит от всех предыдущих состояний (в отличие от цепей Маркова высших порядков).

Область значений случайных величин ~\{X_n\} называется простра́нством состоя́ний цепи, а номер ~n — номером шага.

Переходная матрица и однородные цепи[править | править исходный текст]

Матрица P{(n)}, где

P_{ij}{(n)} \equiv \mathbb{P}(X_{n+1} = j \mid X_n = i)

называется ма́трицей перехо́дных вероя́тностей на n-м шаге, а вектор \mathbf{p} = (p_1,p_2,\ldots)^{\top}, где

p_i \equiv \mathbb{P}(X_0 = i)

нача́льным распределе́нием цепи Маркова.

Очевидно, матрица переходных вероятностей является стохастической, то есть

\sum\limits_{j} P_{ij}(n) = 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}.

Цепь Маркова называется одноро́дной, если матрица переходных вероятностей не зависит от номера шага, то есть

P_{ij}{(n)} = P_{ij},\quad \forall n \in \mathbb{N}.

В противном случае цепь Маркова называется неоднородной. В дальнейшем будем предполагать, что имеем дело с однородными цепями Маркова.

Конечномерные распределения и матрица перехода за n шагов[править | править исходный текст]

Из свойств условной вероятности и определения однородной цепи Маркова получаем:

\mathbb{P}(X_{n} = i_{n} , \ldots,  X_0 = i_0) = P_{i_{n-1},i_n} \cdots P_{i_0,i_1} P_{i_0},

откуда вытекает специальный случай уравнения Колмогорова — Чепмена:

\mathbb{P}(X_n = i_n \mid X_0 = i_0) = (P^n)_{i_0,i_n},

то есть матрица переходных вероятностей за n шагов однородной цепи Маркова есть n-я степень матрицы переходных вероятностей за 1 шаг. Наконец,

\mathbb{P}(X_n = i_n) = \left((P^T)^n \mathbf{p}\right)_{i_n}.

Классификация состояний цепи Маркова[править | править исходный текст]

Примеры[править | править исходный текст]

Цепь Маркова с непрерывным временем[править | править исходный текст]

Определение[править | править исходный текст]

Семейство дискретных случайных величин \{X_t\}_{t \geqslant 0} называется цепью Маркова (с непрерывным временем), если

\mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_s = x_s,\; 0 < s \leqslant t ) = \mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_t = x_t).

Цепь Маркова с непрерывным временем называется однородной, если

\mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_t = x_t) = \mathbb{P}(X_{h} = x_{h} \mid X_0 = x_0).

Матрица переходных функций и уравнение Колмогорова — Чепмена[править | править исходный текст]

Аналогично случаю дискретного времени, конечномерные распределения однородной цепи Маркова с непрерывным временем полностью определены начальным распределением

\mathbf{p} = (p_1,p_2,\ldots)^{\top},\; p_i = \mathbb{P}(X_0 = i),\quad i=1,2,\ldots

и ма́трицей перехо́дных фу́нкций (переходных вероятностей)

\mathbf{P}(h)=(P_{ij}(h)) = \mathbb{P}(X_h = j \mid X_0 = i).

Матрица переходных вероятностей удовлетворяет уравнению Колмогорова — Чепмена: \mathbf{P}(t+s)=\mathbf{P}(t)\mathbf{P}(s) или

P_{ij}(t+s)=\sum_k P_{ik}(t)P_{kj}(s).

Матрица интенсивностей и дифференциальные уравнения Колмогорова[править | править исходный текст]

По определению, матрица интенсивностей \mathbf{Q}=\lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{P}(h)-\mathbf{I}}{h} или, что эквивалентно,

\mathbf{Q}=(q_{ij})=\left(\frac{dP_{ij}(h)}{dh}\right)_{h=0}.

Из уравнения Колмогорова — Чепмена следуют два уравнения:

Для обоих уравнений начальным условием выбирается \mathbf{P}(0)=\mathbf{I}. Соответствующее решение \mathbf{P}(t)=\exp(\mathbf{Q}t).

Свойства матриц P и Q[править | править исходный текст]

Для любого t>0 матрица \mathbf{P}(t) обладает следующими свойствами:

  1. Матричные элементы \mathbf{P}(t) неотрицательны: P_{ij}(t) \geqslant 0 (неотрицательность вероятностей).
  2. Сумма элементов в каждой строке \mathbf{P}(t) равна 1: \sum_j P_{ij}(t) = 1 (полная вероятность), то есть матрица \mathbf{P}(t) является стохастической справа (или по строкам).
  3. Все собственные числа \lambda матрицы \mathbf{P}(t) не превосходят 1 по абсолютной величине: |\lambda| \leqslant 1. Если |\lambda| = 1, то \lambda = 1.
  4. Собственному числу \lambda=1 матрицы \mathbf{P}(t) соответствует, как минимум, один неотрицательный левый собственный вектор-строка (равновесие): (p_1^*,\, p_2^*, ...); p_i^* \geqslant 0; \sum_i p_i^*=1; \sum_i p_i^* P_{ij}(t) = p_j^*.
  5. Для собственного числа \lambda=1 матрицы \mathbf{P}(t) все корневые векторы являются собственными, то есть соответствующие жордановы клетки тривиальны.

Матрица \mathbf{Q} обладает следующими свойствами:

  1. Внедиагональные матричные элементы \mathbf{Q} неотрицательны: q_{ij} \geqslant 0 \; i\neq j.
  2. Диагональные матричные элементы \mathbf{Q} неположительны: q_{ii} \leqslant 0.
  3. Сумма элементов в каждой строке \mathbf{Q} равна 0: \sum_j q_{ij}=0 .
  4. Действительная часть всех собственных чисел \mu матрицы \mathbf{Q} неположительна: Re(\mu) \leqslant 0. Если Re(\mu) = 0, то \mu = 0 .
  5. Собственному числу \mu=0 матрицы \mathbf{Q} соответствует, как минимум, один неотрицательный левый собственный вектор-строка (равновесие): (p_1^*,\, p_2^*, ...); p_i^* \geqslant 0; \sum_i p_i^*=1; \sum_i p_i^* q_{ij}= 0 .
  6. Для собственного числа \mu=0 матрицы \mathbf{Q} все корневые векторы являются собственными, то есть соответствующие жордановы клетки тривиальны.

Граф переходов, связность и эргодические цепи Маркова[править | править исходный текст]

Для цепи Маркова с непрерывным временем строится ориентированный граф переходов (кратко — граф переходов) по следующим правилам:

  • Множество вершин графа совпадает со множеством состояний цепи.
  • Вершины i,j \, (i\neq j) соединяются ориентированным ребром i \to j , если q_{ij}>0 (то есть интенсивность потока из i-го состояния в j-е положительна.

Топологические свойства графа переходов связаны со спектральными свойствами матрицы \mathbf{Q}. В частности, для конечных цепей Маркова верны следующие теоремы:

  • Следующие три свойства А, Б, В конечной цепи Маркова эквивалентны (обладающие ими цепи иногда называют слабо эргодическими):
А. Для любых двух различных вершин графа переходов i,j \, (i\neq j) найдется такая вершина k графа («общий сток»), что существуют ориентированные пути от вершины i к вершине k и от вершины j к вершине k. Замечание: возможен случай k=i или k=j; в этом случае тривиальный (пустой) путь от i к i или от j к j также считается ориентированным путем.
Б. Нулевое собственное число матрицы \mathbf{Q} невырождено.
В. При t \to \infty матрица \mathbf{P}(t) стремится к матрице, у которой все строки совпадают (и совпадают, очевидно, с равновесным распределением).
  • Следующие пять свойств А, Б, В, Г, Д конечной цепи Маркова эквивалентны (обладающие ими цепи называют эргодическими):
А. Граф переходов цепи ориентированно связен.
Б. Нулевое собственное число матрицы \mathbf{Q} невырождено и ему соответствует строго положительный левый собственный вектор (равновесное распределение).
В. Для некоторого t>0 матрица \mathbf{P}(t) строго положительна (то есть P_{ij}(t) > 0 для всех i, j).
Г. Для всех t>0 матрица \mathbf{P}(t) строго положительна.
Д. При t \to \infty матрица \mathbf{P}(t) стремится к строго положительной матрице, у которой все строки совпадают (и совпадают, очевидно, с равновесным распределением).

Примеры[править | править исходный текст]

Рис. Примеры графов переходов для цепей Маркова: a) цепь не является слабо эргодической (не существует общего стока для состояний A_2, \, A_3); b) слабо эргодическая, но не эргодическая цепь (граф переходов не является ориентированно связным) c) эргодическая цепь (граф переходов ориентированно связен).

Рассмотрим цепи Маркова с тремя состояниями и с непрерывным временем, соответствующие графам переходов, представленным на рис. В случае (a) отличны от нуля только следующие недиагональные элементы матрицы интенсивностей — q_{12}, \, q_{13}, в случае (b) отличны от нуля только q_{12}, \, q_{31}  \, q_{32}, а в случае (c) — q_{12}, \, q_{31}  \, q_{23}. Остальные элементы определяются свойствами матрицы \mathbf{Q} (сумма элементов в каждой строке равна 0). В результате для графов (a), (b), (c) матрицы интенсивностей имеют вид: \mathbf{Q}_a=\begin{pmatrix} -(q_{12}+q_{13})& q_{12} & q_{13}\\  0&  0 &  0 \\  0&  0 &  0 \end{pmatrix}, \mathbf{Q}_b=\begin{pmatrix} -q_{12}& q_{12} & 0 \\  0&  0 &  0 \\  q_{31}&  q_{32} &  -(q_{31}+q_{32}) \end{pmatrix},   \mathbf{Q}_c=\begin{pmatrix} -q_{12}& q_{12} & 0 \\  0&  -q_{23} &  q_{23} \\  q_{31}&  0&  -q_{31} \end{pmatrix},

Основное кинетическое уравнение[править | править исходный текст]

Основное кинетическое уравнение описывает эволюцию распределения вероятностей в цепи Маркова с непрерывным временем. «Основное уравнение» здесь — не эпитет, а перевод термина англ. Master equation. Для вектора-строки распределения вероятностей \pi основное кинетическое уравнение имеет вид:

\frac{d \pi}{d t} = \pi \mathbf{Q}

и совпадает, по существу, с прямым уравнением Колмогорова. В физической литературе чаще используют векторы-столбцы вероятностей и записывают основное кинетическое уравнение в виде, который явно использует закон сохранения полной вероятности:

\frac{d p_i}{d t} = \sum_{j, \, j \neq i} (T_{ij}p_j - T_{ji}p_i),

где T_{ij}=q_{ji}.

Если для основного кинетического уравнения существует положительное равновесие p_i^* > 0, то его можно записать в форме

\frac{d p_i}{d t} = \sum_{j, \, j \neq i} T_{ij}p_j^*\left(\frac{p_j}{p_j^*} - \frac{p_i}{p_i^*}\right).

Функции Ляпунова для основного кинетического уравнения[править | править исходный текст]

Для основного кинетического уравнения существует богатое семейство выпуклых функций Ляпунова — монотонно меняющихся со временем функций распределения вероятностей. Пусть h(x) \, (x>0)  — выпуклая функция одного переменного. Для любого положительного распределения вероятностей (p_i > 0) определим функцию Моримото H_h(p):

H_h(p)=\sum_i p_i^* h\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right).

Производная H_h(p) по времени, если p(t) удовлетворяет основному кинетическому уравнению, есть

\frac{d H_h(p(t))}{dt }=\sum_{i,j \, i \neq j} T_{ij}p_j^* \left[h\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)- h\left(\frac{p_j}{p_j^*}\right) + h'\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)\left(\frac{p_j}{p_j^*}-\frac{p_i}{p_i^*}\right)\right] \leqslant 0 .

Последнее неравенство справедливо из-за выпуклости h(x).

Примеры функций Моримото H_h(p)[править | править исходный текст]

  • h(x)= |x-1|, H_h(p)=\sum_i |p_i-p_i^*|;
эта функция — расстояние от текущего распределения вероятностей до равновесного в l_1-норме. Сдвиг по времени является сжатием пространства вероятностных распределений в этой норме. (О свойствах сжатий см. статью Теорема Банаха о неподвижной точке.)
  • h(x)= x \ln x, H_h(p)=\sum_i p_i \ln\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right);
эта функция — (минус) энтропия Кульбака (см. Расстояние Кульбака — Лейблера). В физике она соответствует свободной энергии, деленной на kT (где k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура):
если p_i^*=\exp(\mu_0-U_i/kT) (распределение Больцмана), то
H_h(p)=\sum_i p_i \ln p_i + \sum_i p_i U_i/kT -\mu_0 = (\langle U \rangle - TS)/kT.
  • h(x)= -\ln x, H_h(p)=-\sum_i p_i^* \ln\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right);
эта функция — аналог свободной энергии для энтропии Бурга, широко используемой в обработке сигналов:
S_{\rm Burg}=\sum_i \ln p_i
  • h(x)= \frac{(x-1)^2}{2}, H_h(p)=\sum_i \frac{(p_i-p_i^*)^2}{2p_i^*};
это квадратичное приближение для (минус) энтропии Кульбака вблизи точки равновесия. С точностью до постоянного во времени слагаемого эта функция совпадает с (минус) энтропией Фишера, которую даёт следующий выбор,
  • h(x)= \frac{x^2}{2}, H_h(p)=\sum_i \frac{p_i^2}{2p_i^*};
это (минус) энтропия Фишера.
  • h(x)= \frac{x^q - 1}{q-1}, \, q>0, \, q\neq 1, H_h(p)=\frac{1}{q-1}\left[\sum_i p_i^* \left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)^q - 1\right];
это один из аналогов свободной энергии для энтропии Тсаллиса. Энтропия Тсаллиса (Tsallis entropy)
S_{q {\rm Tsallis}}(p) = {1 \over q - 1} \left( 1 - \sum_i p^q_i \right).
служит основой для статистической физики неэкстенсивных величин. При q \to 1 она стремится к классической энтропии Больцмана — Гиббса — Шеннона, а соответствующая функция Моримото — к (минус) энтропии Кульбака.

Литература[править | править исходный текст]