Теорема Дэвенпорта — Шмидта

В математике, в области диофантовых приближений, теорема Давенпорта — Шмидта определяет, насколько хорошо действительные числа специального вида могут быть аппроксимированы другим специальным видом чисел. А именно, она утверждает возможность получить хорошее приближение к иррациональным числам, которые не являются квадратичными, используя квадратичные иррациональные числа или просто рациональные числа. Теорема названа в честь Гарольда Дэвенпорта и Вольфганга М. Шмидта.

Теорема

Для рационального или квадратичного иррационального числа $\alpha$ существуют уникальные целые числа $x$, $y$ и $z$ такие, что хотя бы одно из них не равно нулю, первое ненулевое из них положительно, они взаимно просты, и выполняется

$x\alpha ^{2}+y\alpha +z=0.$

Если $\alpha$ — квадратичное иррациональное число, в качестве $x$, $y$ и $z$ можно взять коэффициенты его минимального полинома. Если $\alpha$ рационально, примем $x=0$. Используя эти целые числа, однозначно определённые для каждого такого $\alpha$, высоту $\alpha$ задаётся по формуле

$H(\alpha )=\max\{|x|,\;|y|,\;|z|\}.$

Теорема утверждает, что для любого действительного числа $\xi$, которое не является ни рациональным, ни квадратичным иррациональным, можно найти бесконечно много действительных чисел $\alpha$, которые являются рациональными или квадратичными иррациональными и которые удовлетворяют неравенству

$|\xi -\alpha |<CH(\alpha )^{-3}\max(1,\;\xi ^{2}),$

где $C$ — любое действительное число, удовлетворяющее $C>160/9$.

Хотя эта теорема связана с теоремой Рота, её реальное использование заключается в том, что она эффективна в том смысле, что постоянная $C$ может быть определена для любого заданного $\xi$.

Литература

• Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximation // Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
• Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximations and Diophantine equations // Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.

Ссылки

• Davenport-Schmidt theorem (англ.). PlanetMath.