Минимальный многочлен алгебраического элемента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент.

Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение E\supset K и элемент \alpha\in E, алгебраический над K, то минимальное подполе E, содержащее K и \alpha, изоморфно факторкольцу K[x]/(f(x)), где K[x] — кольцо многочленов с коэффициентами в K, а (f(x)) — главный идеал, порождённый минимальным многочленом \alpha. Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть E\supset K — расширение поля, \alpha\in E — элемент, алгебраический над K. Рассмотрим множество многочленов f(x)\in K[x], таких что f(\alpha)=0. Это множество образует идеал в кольце многочленов K[x]. Действительно, если f(\alpha)=0, g(\alpha)=0, то (f+g)(\alpha)=0, и для любого многочлена h(x)\in K[x] (f\cdot h)(\alpha)=0. Этот идеал ненулевой, так как по предположению элемент \alpha алгебраичен; поскольку K[x] — область главных идеалов, этот идеал главный, то есть порождается некоторым многочленом f(x). Такой многочлен определён с точностью до умножения на обратимый элемент поля; накладывая дополнительное требование, чтобы старший коэффициент f(x) был равен единице, то есть чтобы f(x) был приведённым многочленом, получается однозначное сопоставление произвольному алгебраическому элементу \alpha из данного расширения многочлена, который и называется минимальным многочленом \alpha. Из определения следует, что любой минимальный многочлен является неприводимым в K[x].

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2. Тогда минимальный многочлен \alpha — это x^2-2. Если же мы возьмем K=\mathbb R, то минимальный многочлен равен x-\sqrt 2.
  • K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3. Минимальный многочлен \alpha — это x^4-10x^2+1.

Сопряженные элементы[править | править вики-текст]

Сопряженные элементы алгебраического элемента \alpha над полем K — это все (остальные) корни минимального многочлена \alpha.

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть E\supset K — нормальное расширение с группой автоморфизмов G, \alpha \in E. Тогда для любого g — элемента G — g(\alpha) является сопряженным к \alpha, так как любой автоморфизм переводит корни данного многочлена из K[x] снова в корни. Обратно, любой элемент \beta, сопряженный к \alpha, имеет такой вид: это значит, что группа G действует транзитивно на множестве сопряженных элементов. Следовательно, по неприводимости минимального многочлена, K(\alpha) K-изоморфно K(\beta). Следовательно, отношение сопряженности симметрично.

Теорема Кронекера утверждает, что любое алгебраическое целое число, такое что его модуль и модуль всех сопряженных ему в поле комплексных чисел равен 1, является корнем из единицы.

Примечания[править | править вики-текст]