Теорема Леви о непрерывности

Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

Формулировка

Пусть $\scriptstyle \{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины $X_n$, где $\scriptstyle n \in \mathbb{N}$, символом $\phi_n(t)$. Тогда если $\scriptstyle X_n \to X$ по распределению при $\scriptstyle n \to \infty$, и $\phi(t)$ — характеристическая функция $X$, то

$\varphi_n(t) \to \varphi(t)\quad \forall t \in \mathbb{R}$.

Обратно, если $\scriptstyle \varphi_n(t) \to \varphi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}$, где $\scriptstyle \varphi \in C(0)$ — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то $\phi(t)$ является характеристической функцией некоторой случайной величины $X$, и

$X_n \to X$ по распределению при $n \to \infty$.

Замечание

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если $\scriptstyle \varphi_n(t) \to \varphi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}$, где $\phi_n(t)$ — характеристическая функция $X_n$, и $\phi(t)$ — характеристическая функция $X$, то $\scriptstyle X_n \to X$ по распределению при $\scriptstyle n \to \infty$. Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

См. также

• Леви, Поль.