Теорема Леви о непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть \scriptstyle \{X_n\}_{n=1}^{\infty} последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины X_n, где \scriptstyle n \in \mathbb{N}, символом \phi_n(t). Тогда если \scriptstyle X_n \to X по распределению при \scriptstyle n \to \infty, и \phi(t) — характеристическая функция X, то

\varphi_n(t) \to \varphi(t)\quad \forall t \in \mathbb{R}.

Обратно, если \scriptstyle \varphi_n(t) \to \varphi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}, где \scriptstyle \varphi \in C(0) — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то \phi(t) является характеристической функцией некоторой случайной величины X, и

X_n \to X по распределению при n \to \infty.

Замечание[править | править исходный текст]

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если \scriptstyle \varphi_n(t) \to \varphi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}, где \phi_n(t) — характеристическая функция X_n, и \phi(t) — характеристическая функция X, то \scriptstyle X_n \to X по распределению при \scriptstyle n \to \infty. Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

См. также[править | править исходный текст]