Вероятностное пространство

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})$ (иногда обрамляемая угловыми скобками: $\langle,\rangle$), где

• $\Omega$ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
• $\mathfrak{A}$ — сигма-алгебра подмножеств $\Omega$, называемых (случайными) событиями;
• $\mathbb{P}$ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что $\mathbb{P}(\Omega) = 1$.

Замечания

• Элементарные события (элементы $\Omega$), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
• Каждое случайное событие (элемент $\mathfrak{A}$) — это подмножество $\Omega$. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие $A\subseteq\Omega$, если (элементарный) исход эксперимента является элементом $A$.
  Требование, что $\mathfrak{A}$ является сигма-алгеброй подмножеств $\Omega$, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Василий Киржаков.

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть $\Omega$ — конечное множество, содержащее $\vert\Omega\vert = n$ элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств $\Omega$. Его часто символически обозначают $2^{\Omega}$. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно $2^{\vert \Omega \vert}$, что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных моделях зачастую нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. В таком случае, естественным способом ввести вероятность является:

$\mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n}$,

где $A\subset\Omega$, и $\vert A \vert = n_A$ - число элементарных исходов, принадлежащих $A$. В частности, вероятность любого элементарного события:

$\mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.$

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба ($\Gamma$) и выпадение решки ($\mathrm{P}$), то есть $\Omega=\{\Gamma,\mathrm{P}\}.$ Тогда $\mathfrak{A} = \{\{\Gamma\},\{\mathrm{P}\},\{\Gamma,\mathrm{P}\},\varnothing\},$ и вероятность можно посчитать следующим образом:

$\mathbb{P}(\{\Gamma\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\mathrm{P}\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\Gamma,\mathrm{P}\}) = 1,\; \mathbb{P}(\varnothing) = 0.$

Таким образом определена тройка $(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})$ — вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.