Вероятностное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

Определение[править | править вики-текст]

Вероятностное пространство — это тройка (\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P}) (иногда обрамляемая угловыми скобками: \langle,\rangle), где

Замечания[править | править вики-текст]

  • Элементарные события (элементы \Omega), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
  • Каждое случайное событие (элемент \mathfrak{A}) — это подмножество \Omega. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие A\subseteq\Omega, если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
    Требование, что \mathfrak{A} является сигма-алгеброй подмножеств \Omega, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Конечные вероятностные пространства[править | править вики-текст]

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть \Omega — конечное множество, содержащее \vert\Omega\vert = n элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств \Omega. Его часто символически обозначают 2^{\Omega}. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно 2^{\vert \Omega \vert}, что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно; однако, в дискретных моделях зачастую нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. В таком случае, естественным способом ввести вероятность является:

\mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n},

где A\subset\Omega, и \vert A \vert = n_A - число элементарных исходов, принадлежащих A. В частности, вероятность любого элементарного события:

 \mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба (\Gamma) и выпадение решки (\mathrm{P}), то есть \Omega=\{\Gamma,\mathrm{P}\}. Тогда \mathfrak{A} = \{\{\Gamma\},\{\mathrm{P}\},\{\Gamma,\mathrm{P}\},\varnothing\}, и вероятность можно посчитать следующим образом:

 \mathbb{P}(\{\Gamma\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\mathrm{P}\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\Gamma,\mathrm{P}\}) = 1,\; \mathbb{P}(\varnothing) = 0.

Таким образом определена тройка (\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P}) — вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.