Вероятностное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

[править] Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , где

$\Omega \$ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
$\mathcal{F}$ — сигма-алгебра подмножеств $\Omega \$ , называемых (случайными) событиями;
$\mathbb{P}$ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ .

[править] Замечания

Элементарные события (элементы $\Omega \$ ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
Каждое случайное событие (элемент $\mathcal{F}$ ) — это подмножество $\Omega \$ . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие $A\subset \Omega$ , если (элементарный) исход эксперимента является элементом $A$ .
Требование, что $\mathcal{F}$ является сигма-алгеброй подмножеств $\Omega \$ , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

[править] Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть $\Omega \$ — конечное множество, содержащее $\vert \Omega \vert = n$ элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство всех подмножеств $\Omega \$ . Его часто символически обозначают $2^{\Omega} \$ . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно $2^{\vert \Omega \vert}$ , что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

$\mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n}$ ,

где $A\subset \Omega$ , и $\vert A \vert = n_A$ - число элементарных исходов, принадлежащих $A \$ .

В частности, вероятность любого элементарного события:

$\mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.$

[править] Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять $\Omega=\{0,1\}, \mathcal{F} = \{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset\}$ и определить вероятность следующим образом: