Теорема Рэлея о точке перегиба

Теорема Рэлея — утверждение в гидродинамике, согласно которому для плоскопараллельного течения для развития неустойчивости необходимым условием является наличие точки перегиба профиля течения. Теорема получена Рэлеем в приближении идеальной жидкости.

Основное утверждение теоремы очевидным образом противоречит экспериментальным фактам. В частности, в течении Пуазёйля реализуется параболический профиль скорости, не обладающий точками перегиба, однако неустойчивость такого течения также возможна.

Доказательство

Рассмотрение возмущений стационарного плоскопараллельного (в координатах $(x,z)$) течения вязкой жидкости в предположении, что они имеют вид $f(z){\text{e}}^{ikx}$, в линейном приближении приводит к уравнению Орра — Зоммерфельда. Пренебрежение вязкостью (${\text{Re}}\rightarrow \infty$) даёт уравнение Рэлея:

$\left(\lambda +ikU\right)\nabla ^{2}w-ikwU''=0,$

$\nabla ^{2}={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}-k^{2},$

где $w,\lambda =\sigma +i\omega ,k$ — амплитуда, комплексный инкремент и волновое число возмущения, соответственно; $U=U(z)$ — профиль скорости плоскопараллельного течения; $\nabla ^{2}$ — оператор Лапласа для нормальных возмущений. По сравнению с исходным уравнением четвёртого порядка, здесь порядок задачи понизился до второго, что требует корректировки граничных условий. Для канала с твёрдыми стенками условие прилипания, очевидно, заменяется на условие непротекания:

$w\vert _{z=0,h}=0$.

Поделим уравнение на $\left(\lambda +ikU\right)$, домножим на комплексно-сопряженную амплитуду возмущения $w^{\ast }$ и проинтегрируем по ширине канала:

$\int \limits _{0}^{h}w^{\ast }\nabla ^{2}wdz=ik\int \limits _{0}^{h}{\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\left(\lambda +ikU\right)}}dz.$

Преобразование левой части (с учётом граничных условий для уравнения Рэлея)

${\begin{aligned}&\int w^{\ast }\nabla ^{2}wdz=\int w^{\ast }w''dz-k^{2}\int \vert w\vert ^{2}dz=\\&=w^{\ast }w'\vert _{0}^{h}-\int \vert w'\vert ^{2}dz-k^{2}\int \vert w\vert ^{2}dz=-\int \vert w'\vert ^{2}dz-k^{2}\int \vert w\vert ^{2}dz.\end{aligned}}$

показывает, что она является знакоопределенным и вещественным выражением. Следовательно, справа мнимая часть выражения должна быть равна нулю. Выделим её:

${\begin{aligned}&ik\int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\left(\lambda +ikU\right)}}dz=ik\int {\frac {U''\left(\lambda ^{\ast }-ikU\right)\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz=\\&=ik\lambda ^{\ast }\int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz+k^{2}\int {\frac {U''U\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz.\end{aligned}}$

Принимая во внимание $\lambda =\sigma +i\omega$, получим:

$k\sigma \int {\frac {U''\vert w\vert ^{2}}{\vert \lambda +ikU\vert ^{2}}}dz=0.$

Здесь есть две возможности. Во-первых, $\sigma =0$, отвечающее нейтральным возмущениям. Однако, это никакой информации об устойчивости не несёт, поскольку амплитуда такого возмущения не изменяется со временем. Потому примем, что равен нулю интеграл. Однако, в подынтегральном выражении все величины, кроме $U''$, положительны. Для выполнения равенства требуется смена знака $U''$ внутри канала, следовательно, существует как минимум одна точка перегиба, где $U''=0$.

Применимость

Очевидно, теорема Рэлея справедлива далеко не всегда. В первую очередь, существенным может оказаться влияние вязкого слагаемого даже при больших числах Рейнольдса, ввиду большого значения четвёртой производной.

Тем не менее, утверждение теоремы является весьма общим. Экспериментальные и численные исследования показывают, что, хотя и в отсутствие точки перегиба неустойчивость возможна, абсолютно устойчивых течений с точками перегиба не обнаружено.

См. также

• Гидродинамическая устойчивость
• Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца

Литература

• Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Из-во иностранной литературы, 1958.