Оператор Лапласа

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом $\ \Delta$. Функции $F\$ он ставит в соответствие функцию $\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F$.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: $\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}$, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля $\ \operatorname{grad}F$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$, то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа унитарен.

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одного переменного. В самом деле, если функция $\ f (x)$ имеет в окрестности точки $\ x_0$ непрерывную вторую производную $\ f''(x)$, то, как это следует из формулы Тейлора

$\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),$ при $r\to 0,$,

$\ f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),$ при $r\to 0,$

вторая производная есть предел

$\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.$

Если, переходя к функции $\ F$ от $\ k$ переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки $M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)$ рассматривать её $\ k$ -мерную шаровую окрестность $\ Q_r$ радиуса $\ r$ и разность между средним арифметическим

$\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma$

функции $\ F$ на границе $\ S_r$ такой окрестности с площадью границы $\ \sigma(S_r)$ и значением $\ F(M_0)$ в центре этой окрестности $\ M_0$, то в случае непрерывности вторых частных производных функции $\ F$ в окрестности точки $\ M_0$ значение лапласиана $\ \Delta F$ в этой точке есть предел

$\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.$

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции $\ F$, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

$\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},$ где $\ \omega(Q_r)$ — объём окрестности $\ Q_r.$

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в .

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции $\ F.$ Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве $q_1,\ q_2,\ q_3$:

$\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =$

$=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],$

где $H_i\$ — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой $\ r=0$:

$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}$

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

$\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}$

или

$\Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.$

В случае если $\ f=f(r)$ в n-мерном пространстве:

$\Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.$

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

$\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

$\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}$

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии $X$ задана локальная система координат и $g_{ij}$ — риманов метрический тензор на $X$, то есть метрика имеет вид

$ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j$ .

Обозначим через $g^{ij}$ элементы матрицы $(g_{ij})^{-1}$ и

$g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}$.

Дивергенция векторного поля $F$, заданного коодинатами $F^i$ (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка $\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}$) на многообразии X вычисляется по формуле

$\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)$,

а компоненты градиента функции f — по формуле

$(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}$

Оператор Лапласа-Бельтрами на $X$

$\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k})$

Значение $\Delta f$ является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задач диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

• Оператор Д’Аламбера

См. также

• Оператор набла
• Уравнение Лапласа
• Гармоническая функция
• Матрица Кирхгофа

Ссылки

• MathWorld description of Laplacian