Теорема Штольца

В математическом анализе теоремой Што́льца называется утверждение, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь доказавшего её австрийского математика Отто Штольца.

Формулировка

Пусть $a_n$ и $b_n$ — две последовательности вещественных чисел, причём $b_n$ положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}$,

то существует и предел

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$,

причём эти пределы равны.

Доказательство

Допустим сначала, что предел равен конечному числу $L$, тогда для любого заданного $\varepsilon > 0$ существует такой номер $N > 0$, что при $n > N$ будет иметь место

$L - \frac{\varepsilon}{2} < \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} < L + \frac{\varepsilon}{2}.$

Значит для любого $n > N$ все дроби

$\frac{a_{N+1} - a_N}{b_{N+1} - b_N}, \frac{a_{N+2} - a_{N+1}}{b_{N+2} - b_{N+1}},...,\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}$

лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности $b_n$), то между теми же границами содержится и дробь

$\frac{a_n - a_N}{b_n - b_N}$,

числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумме всех знаменателей. Итак, при $n > N$

$\left| \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right| < \frac{\varepsilon}{2}$.

Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):

$\frac{a_n}{b_n} - L = \frac{a_N - L b_N}{b_n} + \left( 1 - \frac{b_N}{b_n} \right) \left( \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right)$,

откуда имеем

$\left| \frac{a_n}{b_n} - L \right| \le \left| \frac{a_N - L b_N}{b_n} \right| + \left| \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right|$.

Второе слагаемое при $n > N$ становится меньше $\frac{\varepsilon}{2}$, первое слагаемое также станет меньше $\frac{\varepsilon}{2}$, при $n > M$, где $M$ — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что $b_n \to +\infty$. Если взять $M > N$, то при $n > M$ будем иметь

$\left | \frac{a_n}{b_n} - L \right | < \varepsilon$,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = +\infty$,

из этого следует, что при достаточно больших $n$

$a_n - a_{n-1} > b_n - b_{n-1}$

и

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty$,

причём последовательность $a_n$ строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению $b_n \over a_n$:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n - b_{n-1}}{a_n - a_{n-1}} = 0$,

откуда и следует, что

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = + \infty$.

Случай предел равен $-\infty$, то нужно рассмотреть последовательность $\{ - a_n \}$.

Следствие

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность $a_n$ сходится к числу $a$, то последовательность средних арифметических $\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}$ сходится к этому же числу.

Литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.