Теорема схем

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема схем, или теорема шаблонов — основная теорема теории генетических алгоритмов, дающая обоснование их эффективности. Впервые сформулирована и доказана Дж. Холландом в 1975 году.

Понятие схемы[править | править вики-текст]

Схемой называется подмножество множества всех возможных генотипов, возможных в данной популяции, заданное в виде хромосомы с фиксированными значениями некоторых битов. Остальные биты могут принимать любые значения, образуя примеры схемы. Так, примерами схемы 00**1* являются хромосомы 000010, 000011, 000110, 000111, 001010, 001011, 001110 и 001111. Количество фиксированных битов называется порядком схемы, а расстояние между крайними фиксированными позициями (т.е. разность их номеров) — её определяющей длиной. Порядок вышеприведённой схемы равен 3, а определяющая длина 5 - 1 = 4. Функция пригодности (ФП) схемы — это среднее значение функции пригодности всех её примеров.

Теорема[править | править вики-текст]

Теорема схем показывает происходящее при смене поколений экспоненциальное распространение хорошо приспособленных схем с малыми порядком и определяющей длиной (такие схемы с ФП выше, чем в среднем по популяции, называют строительными блоками). Математически это выражается неравенством:

N(h,t+1) \geq N(h,t) { f(h, t) \over f(t)}[1-p].

Здесь N(h, t) — количество примеров схемы h на шаге t, а N(h, t+1) — то же на следующем шаге; f(h, t) — функция пригодности схемы на шаге t; f(t) — среднее значение ФП по всей популяции на том же шаге; p — вероятность уничтожения схемы под действием генетических операторов. Эта вероятность равна:

p = {\delta(h) \over l-1}p_c + o(h) p_m,

где \delta(h) — определяющая длина схемы, o(h) — порядок, p_c — вероятность скрещивания, а p_m — вероятность мутации. Таким образом, полная форма записи теоремы выглядит так:

N(h,t+1) \geq N(h,t) { f(h, t) \over f(t)}[1-{\delta(h) \over l-1}p_c - o(h) p_m].

Теорема схем не даёт точных значений, а лишь нижнюю оценку количества примеров схемы после очередной смены поколений. Это вызвано тем, что есть вероятность возникновения новых примеров схемы при действии генетических операторов на хромосомы, не имевшие ранее к ней отношения.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]